Suma parcial de la serie armónica entre dos números de fibonacci consecutivos

Question

Estaba jugando con algunos cálculos y me di cuenta de que la suma parcial de la serie armónica: $$s_n=\sum_{k=F_n}^{F_{n+1}}\frac 1 k$$ donde $F_n$ y $F_{n+1}$ son dos números de Fibonacci consecutivos tienen algunas propiedades interesantes. Está cerca de $\frac 1 2$ para valores pequeños de $n$ y parece converger a un valor inferior a $0.5$ para grandes $n$ . Esto es lo que tengo hasta ahora: $$\lim_{n\to\infty} s_n\approx 0.481212$$ He buscado un poco en Google para ver si hay algún teorema o recurso para esto, y no he encontrado nada. Sospecho que la serie puede converger a un número más pequeño y puede que haya llegado a algunas limitaciones computacionales que llevaron a la conclusión de que el límite está cerca de $\frac 1 2$ . Así que mis preguntas son:

1. ¿Podemos demostrar que la serie converge a un valor distinto de cero?
2. En caso de que la primera respuesta sea afirmativa, ¿se puede expresar el límite de forma cerrada?

Answer 1

En cuanto a la números armónicos $H_n$ su secuencia es

$$ s_n = H_{F_{n+1}} - H_{F_n-1} $$

Como $n \to \infty$ se sabe que $H_n = \log n + \gamma + o(1)$ Así que

$$ \begin{align} s_n &= \log F_{n+1} + \gamma + o(1) - \log(F_n-1) - \gamma - o(1) \\ &= \log F_{n+1} - \log(F_n-1) + o(1). \end{align} $$

Ahora $F_m \sim \varphi^m/\sqrt{5}$ , donde $\varphi$ es la proporción áurea, así que usando el hecho de que $a \sim b \implies \log a = \log b + o(1)$ tenemos

$$ \begin{align} s_n &= \log(\varphi^{n+1}/\sqrt{5}) - \log(\varphi^{n}/\sqrt{5}) + o(1) \\ &= \log \varphi + o(1). \end{align} $$

En otras palabras,

$$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=F_n}^{F_{n+1}} \frac{1}{k} = \log \varphi. $$

Answer 2

Los números de Fibonacci aumentan como $\phi^n$ (donde $\phi$ es la media de oro $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ), y los números armónicos aumentan a medida que $\log n$ (es decir, el logaritmo natural). Por lo tanto, la diferencia entre los números armónicos de los sucesivos números de Fibonacci se acercará a $\log\phi \approx 0.481211825...$

Para ampliar un poco, los números de Fibonacci se pueden expresar como $\frac{\phi^n - (1-\phi)^n}{\sqrt{5}}$ . (¡Inténtalo! El hecho de que la ecuación $f(x+2) - f(x+1) - f(x) = 0$ requiere una suma de potencias de $\phi$ y $1-\phi$ se deduce del hecho de que son las soluciones de la ecuación $x^2 - x - 1 = 0$ y los coeficientes provienen de f(1) = f(2) = 1). El segundo término desaparece, por lo que los números de Fibonacci grandes se pueden aproximar bastante bien como $\frac{\phi^n}{\sqrt{5}}$ .

Dado que una definición del logaritmo natural es la integral de 1 al parámetro de la función $t^{-1}$ los números armónicos se pueden aproximar como el logaritmo natural, y de hecho la diferencia se aproxima a una constante (llamada $\gamma$ , alrededor de 0,577). Si no estás familiarizado con las integrales, el hecho de que los números armónicos aumenten como un logaritmo es sugerido por la prueba de Oresme de que la serie armónica diverge...

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \cdots > 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots$$

...y resulta que ese logaritmo es el logaritmo natural.

Así que si se acepta que para n muy grande, los números armónicos se aproximan $\log n$ y que los números de Fibonacci se aproximan $\frac{\phi^n}{\sqrt{5}}$ ...y luego se obtiene por dos veces sucesivas...

$$\log\left(\frac{\phi^{n+1}}{\sqrt{5}}\right) - \log\left(\frac{\phi^n}{\sqrt{5}}\right) = \log\left(\frac{\phi^{n+1}}{\phi^n}\right) = \log\phi$$

( $\log x - \log y = \log \frac{x}{y}$ es un inverso natural de $\frac{e^x}{e^y} = e^{x-y}$ .)