Es nuestro interés en $\mathbb{R}$ "histórico"?

Question

En el proceso de una topología de curso, se me ocurrió que un número de conceptos se definen con referencia a $\mathbb{R}$ y el estándar de los subconjuntos de los mismos. Por ejemplo, tenemos en cuenta las métricas, que son, por supuesto, de los mapas en $\mathbb{R}$ (específicamente la no-negativos, pero aún así). Dedicamos un capítulo de un libro para el concepto de ruta-conectividad, es decir, una forma de expresar (parte de) un espacio como una imagen continua de un intervalo real. Podemos definir la separación de los axiomas de acuerdo a la capacidad de separar conjuntos particulares continua de los mapas en intervalos cerrados.

Una gran cantidad de conceptos en topología se define con referencia a determinada subespacios de $\mathbb{R}$. Sino que se mueven a otros campos, dicen teoría de la medida, y toda la rama se define por las funciones en $\mathbb{R}$.

Supongo que mi pregunta es: ¿Hasta qué punto nuestro interés en los objetos "fundada en la" $\mathbb{R}$ simplemente una cuestión de nuestra enorme familiaridad con $\mathbb{R}$, y en qué medida estos conceptos dibujar sobre las características que realmente constitutiva de $\mathbb{R}$? Dicho de otra manera, ¿tendemos a considerar real basado en objetos, porque los reales son "intuitivo", o porque $\mathbb{R}$ (o sus subconjuntos relevantes) tiene en particular las propiedades especiales que no podemos encontrar en otros (realmente distintas*) de los objetos?

*Por "realmente distintas", me refiero a anticiparse a las respuestas a lo largo de las líneas de, "Bueno, usted puede construir esta cosa que no es el conjunto de $\mathbb{R}$ per se, pero es para todos los intentos y propósitos exactamente lo mismo $\mathbb{R}$."

Answer 1

Creo que sin duda puede intentar hacer una distinción entre los campos de las matemáticas que son "fundada en la $\mathbb{R}$" en un sentido fuerte y los que no (pero en el que nuestra familiaridad con $\mathbb{R}$ y la de sus primos podría desempeñar un papel importante en términos de proporcionar ejemplos, la intuición, la conducción de preguntas, etc).

Considere los siguientes campos:

1. La teoría de conjuntos. Yo diría que los números reales no juegan ningún papel fundamental en la teoría de conjuntos. Puede definir e investigar las nociones de cardinalidad, parcial de las órdenes, etc, sin siquiera tomarse la molestia de construir los números reales. Por supuesto, uno puede decir que nuestra familiaridad e interés en los números reales es la razón por la que la teoría de conjuntos fue creado en el primer lugar y problemas como el de la hipótesis continua (lo que implica que los números reales) sirvió como importante los problemas fundamentales en el campo, pero desde un punto de vista matemático, yo diría que lo interesante de la teoría de preguntas que involucran los números reales pueden ser vistos como "aplicaciones" de la teoría de conjuntos para situaciones específicas y que el núcleo de la teoría de conjuntos no tiene nada que ver con los números reales.
2. Teoría de grupo o cualquier álgebra abstracta de campo. De nuevo, uno puede investigar las propiedades abstractas de los grupos sin saber nada acerca de los números reales. La familiaridad con los números reales nos puede dar ejemplos importantes de los grupos (tales como la Mentira de los grupos), pero de nuevo, los resultados acerca de tales grupos pueden ser vistos como las aplicaciones de la teoría de grupos a $\mathbb{R}$-fundada objetos.
3. Suave colectores. Aquí, estamos trabajando con los objetos que están modeladas de forma local en $\mathbb{R}^n$ y estamos generalizando nuestra capacidad para hacer cálculos sobre los reales a este más abstracto de configuración. Este es un campo que en mi opinión es "fuertemente fundada en $\mathbb{R}$". Por supuesto, usted puede tratar de abstraen las propiedades que hacen de la teoría de trabajo (¿qué se necesita para hacer el cálculo, etc) y la gente ha hecho que resulta en campos que son mucho menos $\mathbb{R}$-fundada, pero la investigación de suave colectores sigue siendo muy $\mathbb{R}$-fundada.

Ahora, respecto a la topología general, me gustaría argumentar que aunque tiene muchas aplicaciones en objetos que son "fundada en la $\mathbb{R}$" y los campos que se fundó en $\mathbb{R}$ en un fuerte sentido (como colector de la teoría), es, no es, per se, un campo que se basa en el $\mathbb{R}$, y el de los números reales no juegan un papel particularmente importante.

Los actores fundamentales en la topología se define mediante un resumen de la familia de los axiomas (muy parecido al de la teoría del grupo). Mediante la imposición de restricciones adicionales (separación de los axiomas, de nuevo, se define en términos de las operaciones básicas), podemos señalar clases específicas de espacios topológicos. Por ejemplo, puede definir una familia de espacios que son regulares, Hausdorff y han countably localmente finito base e investigar sus propiedades. Resulta que por la Nagata-Smirnov metrization teorema de que tales espacios son precisamente los espacios topológicos que admite una métrica, pero a priori podemos investigar las propiedades topológicas de los espacios sin introducir una métrica. La elección de una métrica en un espacio de este tipo puede ser considerado como la introducción de un "axilar" los datos que nos ayuda (como estamos familiarizados con los números reales y las propiedades de la distancia Euclidiana espacios) para analizar la familia y describir sus propiedades topológicas.

Respecto a la ruta de acceso-conexión, la increíble respuesta de Eric a esta pregunta indica que el concepto de ruta de acceso-conexión también puede ser definida sin introducir el intervalo de $[0,1]$ y utilizando el intervalo para definir una ruta de acceso puede ser considerado como la introducción de "axilar" los datos que nos ayuda a visualizar, dar la intuición y analizar la trayectoria-conectado espacios.

Por supuesto, la historia se fue a otro lado y nos preocupamos por caminos porque visualizamos como la generalización de las rutas en un espacio Euclidiano y nos preocupamos por separación axiomas porque nos preocupamos acerca de la métrica de los espacios y quiere entender que las piezas que tiene en métrica espacios pueden ser "extraída de distancia" pero una vez que la abstracción ha sido hecho, los números reales dejar de jugar un papel fundamental.

Answer 2

Euclides, el libro de Geometría describe líneas, planos y formas como círculos y triángulos en el plano, la relación entre las longitudes de los lados. Esto es de 2.300 años de matemáticas. Las líneas juegan un papel importante a partir de entonces (incluso antes). Los números se pensó inicialmente como longitudes o áreas, etc. Tan real de la línea fue el primer modelo conocido se entiende bien. Con el fin de medir teoría tratando de generalizar la longitud, y la topología, todos tienen real de líneas y planos como el modelo básico.

Todavía no se puede decir que nuestra comprensión de la Euclídea espacios de profundidad. las tres condiciones habituales para la métrica: de no negatividad, la simetría y el triángulo de la desigualdad no eran lo suficientemente fuertes como para excluir a los no-archimedian métrica espacios altamente no-intuitivo (si dos bolas se intersecan, entonces uno está contenido en otro!). Pero no de arquímedes son útiles, ya es otro asunto.

Answer 3

La razón por la que reales son tan insustituible en matemáticas es que, hasta el isomorfismo de todas la definición de estructuras (adición, multiplicación, y lineal de pedidos, de arquímedes a la propiedad), no existe ningún otro objeto.