Entero función que toma cada valor infinitamente a menudo

Question

Yo he visto un par de preguntas similares:

• Función que toma cada valor uncountably a menudo

• Construir una función $f:[0,1] \to [0,1]$ que toma cada valor en $[0,1]$ un número infinito de veces.

Pero, ¿podemos extender estos argumentos para encontrar una función

$$ f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$$ Que toma cada valor infinitamente a menudo?

Answer 1

Una solución sencilla sería oscilante más y más lejos de origen, por lo que f(0), f(1), f(2) ... serán:

0

-1 0 1

-2 -1 0 1 2

....

Es trivial e intuitivo ver que cada valor es tomado infinitamente a menudo.

Answer 2

Sugerencia: puede utilizar el siguiente auxiliar mapa de $g:\Bbb N\to\Bbb Z^2$.

Answer 3

Para un ejemplo claro:

$$f(n) = \begin{cases} i, & \text{if %#%#% is a prime power} \\ -i, & \text{if %#%#% is six times a prime power}\\ 0, & \text{otherwise} \end{casos}$$

Aquí $n=p_i^a$ indica el $n=6p_i^a$ prime. Así $p_i$, $i^{th}$, $f(27)=2=f(81)$ y así sucesivamente.

Answer 4

Para cualquier entero positivo $n$, vamos a $f(n) \ge 0$ siendo el mayor número de factores de dos dividiendo $n$. I. e., $$ f(n) = k \text{ donde } 2^k \a mediados n \text{ y } 2^{k+1} \no\mediados n. $$ También vamos a $f(0) = 0$. A continuación, $f$ nos da lo que queremos: es una función de $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ que toma cada valor infinitamente muchas veces.

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Si debemos tener una función de $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, en principio podemos utilizar un bijection entre el $\mathbb{N}$ $\mathbb{Z}$ y, a continuación, aplicar el ejemplo de arriba. Alternativamente, como celtschk sugiere en un comentario, podríamos $f(-n) = -f(n)$ todos los $n > 0$.

Answer 5

Aquí es mucho más fácil el primer relacionados con el ejemplo que involucra el número de divisores de función: $$f(n)=\operatorname{sgn}(n)(\tau(|n|)-2)$$ donde $\operatorname{sgn}$ es el signo de la función. $f(n)=0$ para todos los primos y las negaciones de los números primos $n$; para los no-cero $x$, una secuencia infinita de argumentos $n_i$ que $f(n_i)=x$ $n_i=\operatorname{sgn}(x)p_i^{|x|+1}$ donde $p_i$ $i$th prime. Por ejemplo, $f(n)=-1$ $n=-4,-9,-25,-49,-121,\dots$