Cada polinomio con coeficientes reales es la suma de los cubos de los tres polinomios

Question

Cómo probar que todo polinomio con coeficientes reales es la suma de tres polinomios elevado a la 3 ° grado? Formalmente la instrucción es:

$\forall f\in\mathbb{R}[x]\quad \exists g,h,p\in\mathbb{R}[x]\quad f=g^3+h^3+p^3$

Answer 1

Tenemos que la siguiente identidad tiene $$(x+1)^3+2(-x)^3+(x-1)^3=6x.$$ Por lo tanto $$\left(\frac{f(x)+1}{6^{1/3}}\right)^{3}+\left(\frac{-f(x)}{3^{1/3}}\right)^{3}+ \left(\frac{f(x)-1}{6^{1/3}}\right)^{3}=f(x).$$