Por qué no puede el segundo teorema fundamental del cálculo se demostró en dos líneas?

Question

El segundo teorema fundamental del cálculo establece que si $f$ es continua en a $[a,b]$ e si $F$ es una antiderivada de $f$ en el mismo intervalo de tiempo, entonces: $$\int_a^b f(x) dx= F(b)-F(a).$$

La prueba de este teorema, que he visto tanto en mi libro y en la Wikipedia es bastante complejo y largo. Se utiliza el valor medio teorema de la integración y el límite de una infinita suma de Riemann. Pero traté de dar con una prueba (que estoy seguro que es malo) y fue de apenas dos líneas. Aquí va:

Desde $F$ es una antiderivada de $f$,$\frac{dF}{dx} = f(x)$. Multiplicando ambos lados por $dx$, obtenemos $dF = f(x)dx$. Ahora $dF$ es sólo el pequeño cambio en $F$ $f(x)dx$ representa la infinitesimal de área limitada por la curva y el $x$ eje. Así que la integración de ambos lados, llegamos al resultado requerido.

En primer lugar, lo que está mal con mi prueba? Y si es tan simple, ¿qué es lo fundamental?

Multiplicando la ecuación por $dx$ debe ser un paso obvio para encontrar el área a la derecha? ¿Por qué es la prueba que se da en Wikipedia (o en mi libro) tanto tiempo?

Mi maestro dijo que la conexión entre el cálculo diferencial e integral no es evidente, haciendo que el teorema fundamental un resultado sorprendente. Pero para mí es bastante trivial. Entonces, ¿qué eran las presunciones equivocadas que he hecho en la prueba y lo que me estoy dando por sentado?

Cabe señalar que ya he aprendido diferencial y el cálculo integral y me enseñó el "teorema fundamental" en el fin y no como el primer vínculo entre los dos reinos de cálculo.

En respuesta a las siguientes respuestas: Si la expresión de infinitesimals en su propia no es un "riguroso" suficiente para ser utilizado en una prueba, entonces, ¿qué más sentido que hacer cuando se escribió, junto con un signo integral, o incluso en la notación para la derivada? La integral es sólo la continua suma de infinitesimals, ¿correcto? Y la derivada es simplemente el cociente de dos. De qué otra manera se deben estos ser definido o intuitivamente explicado? A mí me parece que uno tiene que aprender todo un nuevo parte de las matemáticas antes de sumergirse en o diferencial cálculo integral. Además, podemos hacer este tipo de cosas en física todo el tiempo.

Answer 1

El problema con la prueba de ello es la afirmación de

Ahora $dF$ es sólo el pequeño cambio en $F$ $f(x)dx$ representa la infinitesimal de área limitada por la curva y el $x$ eje.

Que de hecho es intuitivamente clara, y es la esencia de la idea detrás del teorema fundamental del cálculo. Es bastante parecido a lo que Leibniz dijo. Puede ser evidente en retrospectiva, pero tomó Leibniz y Newton para darse cuenta de ello (aunque fue en la matemática de aire en el momento).

El problema llamando a que una "prueba" es el uso de la palabra "infinitesimal". Qué es un número infinitesimal? Sin una definición formal, la prueba no es uno.

Se llevó a los matemáticos de varios siglos para enderezar esto. Una manera de hacer que es el tiempo de la prueba con los límites de las sumas de Riemann que se refiere. Otra forma más nueva es para hacer que la idea de un infinitesimal número lo suficientemente riguroso como para justificar su argumento. Que se puede hacer, pero no es fácil.

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Edición en respuesta a esta nueva parte de la pregunta:

Además, podemos hacer este tipo de cosas en física todo el tiempo.

Por supuesto. Lo hacemos en matemáticas también, porque se puede convertir en un riguroso argumento, si es necesario. Sabiendo eso, no tenemos que escribir el argumento cada vez, y puede confiar en nuestros profesionales de la intuición. De hecho, usted puede utilizar con seguridad que la intuición incluso si usted personalmente no conocen o no entienden cómo formalizar.

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Answer 2

Muchas de las respuestas que aquí parecen sugerir que lo que tu argumento carece de es simplemente una rigurosa teoría de infinitesimals.

No. Su argumento es simplemente incorrecto, independientemente de si hay un significado claro de infinitesimals. Tenga en cuenta que su argumento no hace uso de la condición de que $f$ es continua (y por tanto integrable). Sin embargo, hay ejemplos de $F$ cuyos derivados $f$ son no integrable (ver este hilo , por ejemplo).

Answer 3

Me permita traducir su línea de "Multiplicar ambos lados por $dx$, obtenemos $dF=f(x)dx$." en lo que, interpretada de manera estricta, se dijo:

"Pretender que los símbolos $\mathrm{d}x$ $\mathrm{d}F$ tienen existencia fuera de el símbolo $\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x}$, que es injustificada, podemos multiplicar ambos lados por $\mathrm{d}x$, la obtención de $$ 0 = \mathrm{d}F = f(x) \mathrm{d}x = 0 \text{,} $$ que, si bien es cierto, ha destruido toda la información en nuestra ecuación."

¿Por qué es esto? Debido a $\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x}$ se define como $$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{(x+h) - x} \text{.} $$ Suponiendo que este límite existe (que felizmente se han afirmado), podríamos intento de aplicar el límite de las leyes para obtener $$ \frac{\lim_{h \rightarrow 0} F(x+h) - F(x)}{\lim_{h \rightarrow 0} (x+h) - x} \text{.} $$ Sin embargo, esto da un denominador de $0$, por lo que no está permitido por el límite de las leyes. (De hecho, da $0/0$, lo que sugiere que se debe ser más cuidadoso en la explicación de cómo se está infiltrando en esta relación.) Desde que hace caso omiso de este problema, se han multiplicado en ambos lados de la ecuación por $\mathrm{d}x = \lim_{h \rightarrow 0} (x+h) - x = 0$. Afortunadamente, el resto de tu lado izquierdo es $\lim_{h \rightarrow 0} F(x+h) - F(x) = 0$. Para llegar a la verdadera ecuación de $0=0$, pero esto es totalmente informativo. No hay infinitesimals (lo que los son) restante.

Answer 4

Además, podemos hacer este tipo de cosas en física todo el tiempo.

Esto es digno de un corto, un poco filosófico respuesta de su propio.

Vale la pena comprender cómo la física y las matemáticas se relacionan en handwavey límites como estos. En la física, de hacer los pasos como este sabiendo que podría estar equivocado. A continuación, al mismo tiempo la búsqueda de experimentos para copia de seguridad en el cálculo, y para prueba matemática. Y en los casos en los que encontrar experimental de la justificación, sino la falta de una demostración matemática, matemáticos, los físicos utilizan el experimento como un punto de partida para la búsqueda de una demostración matemática.

El uso de la palabra "infinitesimal" es un momento único donde "bodrio" cumple "con rigor" y tiene una gran historia detrás de ella. El muy concisa de la historia es que, mientras que la intuición conduce a resultados correctos en dos pruebas un montón de tiempo, conduce a la abierta o sutilmente mal las pruebas de algunos de la época. Los matemáticos alrededor de Leibniz resolver este conflicto por todo rigor.

En tu caso, es realmente sólo el hecho de que la teoría matemática no es bien entendido que el físico puede ser descuidado y retirarse ninguno de los sabios. Pero los físicos a utilizar la experiencia para justificar sus resultados, y sus resultados están bien apoyados por los matemáticos interesados en riguroso argumento. Es mejor no ser demasiado arrogante acerca de los accesos directos como estos, cuando el trabajo debido a una combinación de la evidencia experimental, el trabajo de otros rigor impulsada por científicos del pasado y del presente, y un poco de tolerancia para la posibilidad de estar equivocado.

Answer 5

Y si es tan simple, ¿qué es lo fundamental?

Una de las razones de este teorema puede decirse que es "fundamental" precisamente porque es la herramienta básica que nos permite convertir informal con argumentos tales como la suya en, precisamente, declaró hechos.

(por cierto, $\int_a^b f$ $\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x$ son razonables notaciones, sino $\int_a^b f(x)$ es mucho no)

Desde $F$ es una antiderivada de $f$,$\frac{dF(x)}{dx} = f(x)$. Multiplicando ambos lados por $dx$, obtenemos $dF(x) = f(x)dx$. Ahora $dF(x)$ es sólo el pequeño cambio en $F(x)$ $f(x)dx$ representa la infinitesimal de área limitada por la curva y el $x$ eje. Así que la integración de ambos lados, llegamos al resultado requerido.

(nota: he hecho correcciones gramaticales a las matemáticas en esta cita

Claro, pero estamos rogando a la pregunta. — estás usando el teorema fundamental del cálculo para decir "integración de la $\mathrm{d}F(x)$ a un intervalo de tiempo le da el cambio en $F(x)$", por lo que no es una muy buena prueba del teorema.

La forma en que un Calc II los estudiantes de traducir esto en una rigurosa argumento sería

• Sustituyendo $u = F(x)$ da $\int_{F(a)}^{F(b)} \mathrm{d}u = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x $
• Aplicando el teorema fundamental del cálculo nos dice $\int_{F(a)}^{F(b)} \mathrm{d}u = F(b) - F(a)$

Su argumento tiene la complicación adicional de trabajo en términos de las diferencias — que, mientras una gran cosa, en este punto de su educación, usted probablemente no sabe realmente qué son estos, aunque los he visto usado lo suficiente como para ser capaz de imitar los argumentos que la gente hace con ellos. El "cambio infinitesimal en $x$" heurística es una analogía, y realmente no se sostienen cuando está estresado.

No me malinterpreten — en mi opinión, los diferenciales son grandes cosas, y más de cálculo debe ser formulada en términos de ellos.

Sin embargo, el enfoque generalmente generalmente no se enseña, presumiblemente, ya que tiene la complicación añadida de tener que aprender lo que los diferenciales, y de trabajar con los distintos derivada e integral de las reglas hace que sea perfectamente a un buen sustituto para la mayoría de propósitos.