Esto es "bien sabido", pero estoy en una pérdida para encontrar una prueba. Juro que he leído en alguna parte, pero comprobar el puñado de lugares que estoy acostumbrado a comprobar no ayuda. Google da nada, así que vamos a tener una prueba aquí!
Teorema: Supongo que $T$ es un (contable completa) teoría de $\omega$-estable. Entonces o $T$ $\aleph_0$-categóricos o $T$ tiene infinitamente muchos modelos contables.
¿Alguien sabe una prueba?
No voy a dar una prueba, pero voy a dar algunos antecedentes históricos y referencias.
Deje $I(T,\kappa)$ el número de isomorfismo tipos de modelos de $T$ de cardinalidad $\kappa$. Una contables teoría completa $T$ $1<I(T,\aleph_0)<\aleph_0$ es la llamada teoría de Ehrenfeucht.
Teorema (Baldwin-Lachlan, 1971): No Ehrenfeucht teoría es uncountably categórica.
De hecho, la Baldwin-Lachlan análisis muestra que los modelos de un uncountably categórica teoría se determina hasta el isomorfismo por la dimensión de un fuerte conjunto mínimo, y las posibles dimensiones de un modelo contable son más cerrados en $\{0,1,2,\dots,\aleph_0\}$.
Ahora uncountably categórica teorías se $\omega$-estable, y $\omega$-estable teorías son superstable. Sólo dos años más tarde, Lachlan empujó el límite inferior de la complejidad de Ehrenfeucht teorías de todo el camino a superstability:
Teorema (Lachlan, 1973): No Ehrenfeucht teoría es superstable.
No sé de ninguna prueba en el $\omega$estables en el caso de que es más fácil que el general superstable caso, pero yo estaría muy interesado en ver uno!
Usted puede encontrar Lachlan de la prueba en su papel En la serie de modelos contables de una contables superstable teoría (si el documento se puede encontrar - yo no podría!), pero al parecer bastante complicado. La prueba fue muy simplificados por Lascar en su importante 1976 papel Filas y definability en superstable teorías, como una aplicación de su recién acuñadas $U$-rango.
Desde entonces, varios otros de las pruebas se han dado. Si quieres leer una prueba en un libro de texto, Lachlan del teorema es el último teorema de la Pillay pequeño libro de Introducción a la Teoría de la Estabilidad, y aparece como Teorema 5.6.2 en Buechler la Estabilidad Esencial de la Teoría.
Lachlan del teorema generalizado por Kim:
Teorema (Kim, 1999): No Ehrenfeucht teoría es supersimple.
Kim papel En la serie de modelos contables de una contables supersimple teoría es muy corto y auto-contenida (modulo de las propiedades básicas de que se bifurcan en teorías simples), por lo que en realidad podría ser la más directa lugar de leer la prueba, incluso para el $\omega$-estable!
Una pregunta importante es si se puede quitar el "super":
Lachlan del Problema: hay una estable Ehrenfeucht teoría?
Hrushovski abordó este problema en su tesis, donde se demostró que no Ehrenfeucht teoría es estable y "finitely base".
En 2001, Sudoplatov anunció una solución positiva a Lachlan del Problema, que posteriormente se explicó en su libro La Lachlan Problema. No he leído el libro (aunque estoy interesado en la lectura en algún momento!).
Usted puede encontrar una muy completa de la historia de Ehrenfeucht teorías (y la información acerca de la solución propuesta a Lachlan del problema) a partir de p. 9 de estas diapositivas por Sudoplatov.
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