Por ejemplo, tengo un problema con una distribución de carga esférica simétrica. Deduzco de aquí, con el fin de resolver el problema fácilmente, que el campo eléctrico correspondiente debe ser simétrico. ¿Cómo se justifica rigurosamente este tipo de deducción?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Permítanme en primer lugar responder a esta pregunta en una clase particular de problemas de electrostática.
En el caso de una localizada la distribución de carga en la electrostática (uno en el que la densidad de carga se desvanece fuera de un poco de bola alrededor del origen), la solución general para un potencial que se desvanece en $\infty$ es $$ \mathbf \Phi(\mathbf x) = k\int_{\mathbb R^3} d^3x' \frac{\rho(\mathbf x')}{|\mathbf x - \mathbf x'|} $$ En este caso, con frecuencia se desea mostrar que si $\rho$ tiene ciertas simetrías, a continuación, $\Phi$ comparte esas simetrías. Primero vamos a derivar un poco de resultado:
Supongamos que hacemos una invertible transformación de $T$ sobre la distribución de carga (es decir una traducción para una rotación, por ejemplo), la nueva (transformado) la distribución de carga $\rho_T$ $$ \rho_T(\mathbf x) = \rho(T^{-1}\mathbf x). $$ ¿Cuál será el potencial resultante $\Phi$? Bueno, vamos a calcular $$ \Phi_T(\mathbf x) = k\int_{\mathbb R^3} d^3 x' \frac{\rho_T(\mathbf x')}{|\mathbf x - \mathbf x'|} = k\int_{\mathbb R^3} d^3 x' \frac{\rho(T^{-1}(\mathbf x'))}{|\mathbf x - \mathbf x'|} $$ podemos realizar la integral resultante a través de un cambio de variables $$ \mathbf u = T^{-1}(\mathbf x') \implica \mathbf x' = T(\mathbf u) $$ y la fórmula para el cambio de la variable de integración para las integrales de volumen da $$ d^3 x' = J_T(\mathbf u) d^3 u $$ donde $J_T$ es el jacobiano de la transformación, de modo que la transformada potencial se convierte en $$ \Phi_T(\mathbf x) = k\int_{\mathbb R^3} d^3u \,J_T(\mathbf u)\frac{\rho(\mathbf u)}{|\mathbf x - T(\mathbf u)|} $$ Ahora, de vuelta a la feria.
Para ver cómo esta fórmula para la transformación de potencial se utiliza para contestar a su pregunta sobre simetrías, vamos a considerar una forma simétrica de la densidad de carga; $$ \rho(\mathbf x - \mathbf x_0) = \rho(\mathbf x), \qquad \text{para todos los $\mathbf x_0$} $$ En este caso, la transformación de $T$$T(\mathbf x) = \mathbf x + \mathbf x_0$. El Jacobiano es solo 1, y nuestra la fórmula se deriva de la anterior para la transformación de los posibles da $$ \Phi_T(\mathbf x) = k\int_{\mathbb R^3} d^3u \frac{\rho(\mathbf u)}{|\mathbf x - (\mathbf u-\mathbf x_0)|} = k\int_{\mathbb R^3} d^3u \frac{\rho(\mathbf u)}{|(\mathbf x - \mathbf x_0) - \mathbf u|} = \Phi(\mathbf x - \mathbf x_0) $$ Por otro lado, la traslación de la invariancia de la densidad de carga nos dice que $$ \Phi_T(\mathbf x) = k\int_{\mathbb R^3} d^3 x' \frac{\rho_T(\mathbf x')}{|\mathbf x - \mathbf x'|} = k\int_{\mathbb R^3} d^3 x' \frac{\rho(\mathbf x')}{|\mathbf x - \mathbf x'|} = \Phi(\mathbf x) $$ así que la combinación de estos resultados da $$ \Phi(\mathbf x - \mathbf x_0) = \Phi(\mathbf x) $$ Es decir, el potencial es también de forma simétrica. Un procedimiento similar puede ser utilizado para otros tipos de simetrías. Trate de rotación de la invariancia por ejemplo en su propio!
Espero que ayude!
La Física De Las Rocas.
Adenda. Creo que se puede mostrar cosas similares para los genéricos Neumann o de Dirichlet límite de problemas de valor en la electrostática en el que, por ejemplo, usted no sólo quiere resolver la ecuación de Poisson para un localizada la distribución de carga a la desaparición de potencial en el infinito, pero no he trabajado en los detalles.
