Sigma-algebras en los números naturales

Question

Sé que podemos decir algo muy general sobre todas las sigma-algebras de los números naturales, pero no sé muy bien lo que es. ¿Puede alguien ayudarme? Para explicarlo mejor, he leído que la familia de las uniones de los subconjuntos de cualquier partición de $\mathbb {N}$ forma una sigma-álgebra en $\mathbb {N}$ y que cada sigma-álgebra en $\mathbb {N}$ es de este tipo. ¿Es esto de hecho cierto, y si es así, cómo podría probarlo?

Me encontré con una posible solución en el sitio web

http://at.yorku.ca/cgi-bin/bbqa?forum=ask_a_topologist_2006;task=show_msg;msg=1636.0001

y han logrado probar los pasos 2 y 3, pero no el 1. No puedo ver la validez del método propuesto en el paso 1.

Answer 1

Una dirección debería ser fácil: Supongamos que $\mathbb N$ se divide en conjuntos no vacíos $(A_i\mid i\in I)$ Así que $A_i\cap A_j=\emptyset$ si $i\ne j$ están en $I$ y $\bigcup_{i\in I}A_i=\mathbb N$ . Tenga en cuenta en primer lugar que $I$ es contable (posiblemente finito), ya que podemos inyectar $I$ en $\mathbb N$ a través de la función $i\mapsto\min(A_i)$ .

Consideremos ahora la familia de uniones de subconjuntos de la partición, es decir, la familia $$\mathcal F=\left\{\bigcup_{i\in J}A_i\mid J\subset I\right\}.$$ Comprobamos fácilmente que $\mathcal F$ es un $\sigma$ -álgebra en $\mathbb N$ De hecho, es el más pequeño $\sigma$ -que contiene cada $A_i$ como elemento.

Para ver esto, observe que $\emptyset,\mathbb N\in\mathcal F$ como lo atestigua $J=\emptyset, I$ respectivamente. También, $\mathcal F$ es cerrado bajo complementos, ya que $$\bigcup_{i\in I\setminus J}A_i=\mathbb N\setminus\left(\bigcup_{i\in J}A_i\right).$$ Cada $A_i$ está en $\mathcal F$ como lo atestigua $J=\{i\}$ y $\mathcal F$ es cerrado bajo uniones contables, ya que si $(J_n\mid n\in\mathbb N)$ es una familia contable de subconjuntos de $I$ entonces $$\bigcup_n\left(\bigcup_{i\in J_n} A_i\right)=\bigcup_{i\in\bigcup_n J_n} A_i.$$ (Que el $J_n$ puede no ser disjunta es irrelevante).

Esto demuestra que $\mathcal F$ es un $\sigma$ -álgebra en $\mathbb N$ y contiene cada $A_i$ como elemento. Para ver que $\mathcal F$ es de hecho el más pequeño $\sigma$ -álgebra en $\mathbb N$ que contiene todos los conjuntos $A_i$ como elementos, simplemente hay que tener en cuenta que cualquier $\sigma$ -debe contener $\mathcal F$ ya que $I$ es contable.

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Considero que la anterior es la dirección fácil, porque la verificación de todos los detalles es más o menos automática. La otra dirección implica más reflexión. Supongamos entonces que $\mathcal F$ es un $\sigma$ -álgebra en $\mathbb N$ . Necesitamos extraer de alguna manera una partición de $\mathbb N$ de $\mathcal F$ de tal manera que $\mathcal F$ es sólo el $\sigma$ -que se obtiene tomando las uniones de las piezas de la partición.

Un enfoque natural consiste en tratar de identificar el átomos de $\mathcal F$ . Aquí, un átomo es un conjunto no vacío $A\in\mathcal F$ de manera que si $\emptyset\ne B\subset A$ y $B\in\mathcal F$ Entonces, de hecho $B=A$ . Queremos verificar no sólo que hay átomos, sino también que cualquier $A\in\mathcal F$ contiene un átomo. Una vez que tenemos los átomos, deberíamos haber terminado. La cuestión es que dos átomos distintos deben ser, de hecho, disjuntos, ya que si $A\ne B$ son átomos, entonces $A\cap B$ está en $\mathcal F$ y un subconjunto adecuado de al menos uno de ellos. Por lo tanto, debe estar vacío, o $A,B$ no pueden ser ambos átomos. La observación clave es que la unión de los átomos es toda $\mathbb N$ . Una vez que sabemos esto, entonces $\mathcal F$ es sólo el $\sigma$ -generada por los átomos, que no es más que la familia que se obtiene tomando las uniones de colecciones de átomos, por el argumento dado en la primera parte.

Hay varias formas de verificar las afirmaciones que hemos hecho. Una elegante es la que sugiere Thomas Andrews en un comentario: Dado que los átomos no pueden dividirse más, es natural considerar la relación en $\mathbb N$ donde $x\sim y$ si cualquier conjunto en $\mathcal F$ que contiene $x$ también contiene $y$ . Es sencillo comprobar que se trata de una relación de equivalencia. La afirmación es que los átomos de $\mathcal F$ son precisamente las clases de equivalencia de esta relación. Para ver esto, sólo hay que demostrar que cada clase de equivalencia está en $\mathcal F$ ya que el resto se deduce de las propiedades generales de las relaciones de equivalencia. Por ejemplo, si $A\in\mathcal F$ y $x\in A$ entonces $A$ también contiene cada miembro de la clase de equivalencia de $x$ Así que $A$ es la unión de las clases de equivalencia de sus miembros.

Dejemos que $x\in\mathbb N$ . Para cada $y\in \mathbb N$ con $x\not\sim y$ , dejemos que $A_y$ sea un conjunto en $\mathcal F$ que contiene $x$ pero no $y$ . Consideremos ahora la intersección $B_x$ de todos estos conjuntos $A_y$ . Obsérvese que se trata de una intersección contable, por lo que está en $\mathcal F$ y que $x\in B_x$ . El chiste es que $B_x$ es la clase de equivalencia de $x$ . (De lo contrario, hay un $z\in B_x$ con $x\not\sim z$ pero luego $z\notin A_z$ y $B_x\subset A_z$ Así que ciertamente $z\notin B_x$ .)

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Permítanme terminar mencionando que el argumento anterior utiliza la elección, ya que escogió para cada $y\not\sim x$ un conjunto $A_y\in\mathcal F$ siendo testigo de esto. Me gustaría pensar que este uso de la elección puede ser eliminado, pero no he perseguido esto.

Por último, para explicar el comentario de André Nicolas, hay que tener en cuenta que si $(A_i\mid i\in I)$ es una partición de $\mathbb N$ en trozos no vacíos, entonces hay una identificación natural del $\sigma$ -generada por la partición con $\mathcal P(I)$ : Simplemente identifique $J\subset I$ con $\bigcup_{i\in J}A_i$ y verificar que se trata de una biyección. Además, preserva las contenciones ( $J\subseteq K$ si $\bigcup_{i\in J}A_i\subseteq \bigcup_{i\in K}A_i$ ), y complementos, por lo que la biyección es de hecho un isomorfismo de $\sigma$ -algebras.