Convergencia de los espectros bajo una fuerte convergencia de los operadores

Question

Diga $\left\{A_n\right\}$ es una secuencia de operadores acotados autoconjuntos en un espacio de Hilbert separable, que convergen en la topología fuerte de operadores a un operador (acotado y autoconjunto) $A$ . Denotemos el espectro de $A_n$ por $\sigma_n$ y el espectro de $A$ por $\sigma$ . ¿En qué condiciones se deduce que $\sigma_n\rightarrow\sigma$ en la métrica de Hausdorff? Se agradecerá cualquier referencia.

Answer 1

FWIW: El mejor resultado que se acerca a lo que usted busca, que yo sepa, es el teorema 50.16 en

• Kriegl, Michor: "El conveniente escenario del análisis global",

que es una extensión de un teorema de Rellich que también se puede encontrar en

• Kato: "Teoría de la Perturbación de Operadores Lineales", capítulo 7, teorema 3.9

Dice: Para una curva suave de operadores autoadjuntos no limitados en un espacio de Hilbert $t \to A$ con dominio de definición común y resolvente compacto, los valores propios de $A(t)$ pueden disponerse cada vez más ordenados de forma que se conviertan en $C^1-$ funciones. Si la curva es analítica real, los valores y vectores propios pueden elegirse suavemente en t.

Una curva suave de operadores no limitados significa que $t \to (A(t)u, v)$ es suave para todos los $u, v \in H$ vectores en el espacio de Hilbert, y $u$ en el ámbito de la definición de $A(t)$ Por supuesto.

Por otro lado, existe un teorema que aborda el problema desde un ángulo diferente en

• Dunford, Schwartz: "Operadores lineales, Parte II"

capítulo X.7 "Teoría de la Perturbación", corolario 3: Para $E_n, E$ siendo las resoluciones de la identidad de los operadores normales $T_n, T$ con $T_n \to T$ en la topología del operador fuerte, tenemos: Si $E$ desaparece en la frontera del conjunto de Borel $\sigma$ entonces $E_n(\sigma) \to E(\sigma)$ en la topología del operador fuerte.

Sin embargo, no he pensado si es posible utilizar este resultado para acercarse a una respuesta a tu pregunta :-)

HTH.

Answer 2

He aquí otra respuesta parcial. Del libro de Kato, "Perturbation theory for linear operators", se trata del teorema 4.10 del capítulo 5 (p. 291); estoy parafraseando un poco:

Dejemos que $T$ sea autoadjunto y $A$ sean operadores autoadjuntos y acotados en un espacio de Hilbert. Entonces $$\operatorname{dist}(\Sigma(T + A), \Sigma(T)) \le \| A \|.$$

Aquí $\Sigma(T)$ denota el espectro de $T$ .

En otras palabras, si se sustituye la topología del operador fuerte por la topología de la norma, entonces se tiene $\| T - T_n \| \le \epsilon$ entonces se sabe que para cada elemento $\sigma$ del espectro de $T$ hay al menos un elemento $\mu$ del espectro de $T_n$ tal que $|\sigma - \mu| \le \epsilon$ - y viceversa.

Answer 3

Aunque sea demasiado tarde para responder. El siguiente trabajo proporciona una caracterización de la convergencia del espectro con respecto a la métrica de Hausdorff. La continuidad se satisface siempre que las normas de todos los polinomios (hasta grado 2) del operador se comporten de forma continua. Se puede hacer mucho más: En particular se proporcionan estimaciones cuantitativas. Incluso ahí se puede leer como una caracterización.

"Continuidad del espectro de un campo de operadores autoadjuntos"

por Siegfried Beckus y Jean Bellissard

http://arxiv.org/abs/1507.04641

Una herramienta para demostrar esta continuidad es la teoría sobre campos continuos de las C*-álgebras. En el artículo el resultado puede leerse también como sigue: El espectro de un campo de operadores autoadjuntos acotados se comporta de forma continua si y sólo si el campo relacionado de C*-álgebras es continuo.