¿Producto tensorial de grupos (generales)?

Question

Estoy empezando a aprender acerca de los productos tensorial de grupos abelianos.

¿Por qué se define el producto tensorial de grupos abelianos ? ¿En que parte de la construcción es necesario el commutativity de los grupos?

Answer 1

Hay una versión del producto tensor para nonabelian grupos, pero esta noción es mucho más especializados. Ver http://www-irma.u-strasbg.fr/~loday/PAPERS/87BrownLoday%28vanKampen%29.pdf, en la sección 2. En la construcción que en algún momento hacer un mod, que no se puede hacer, en general, si se toma el grupo de free en lugar de la libre abelian grupo. (Vea un grupo libre sobre un conjunto es nonabelian a menos que el conjunto de cardinalidad $>1$, por lo que debe tener un subgrupo normal para formar el mod, y el estándar manera de superar este problema es tomar la normal de cierre. Esto está implícito en el papel, donde el uso de una presentación.)

ver también http://pages.bangor.ac.uk/~mas010/nonabtens.html

Answer 2

@Laters: Sólo para añadir a la respuesta de laters, el siguiente debe explicar la idea de la nonabelian producto tensor. Más detalles se encuentran en el Café-Loday documento vinculado en la respuesta.

Deje $M,N$ ser normal subgrupos del grupo $P$. Considerar el colector mapa

$$c=[\, ,\, ]: M \times N \to P, (m.n) \mapsto mnm^{-1}n^{-1}. $$ A continuación, $c$ es no bimultiplicative pero es un biderivation en el sentido de que existen fórmulas para $[mm',n], [m,nn'] $, que os dejo a trabajar, y que implican la conjugación $^n m= nmn^{-1}$. Así que la forma universal de la construcción para biderivations, es decir, un biderivation $\kappa: M \times N \to M \otimes N$ que es universal para biderivations; es construido a partir de la libre grupo en $M \times N$, al excluir la biderivation reglas. Uno tiene que hacer algo de trasteo para demostrar algunas propiedades de la clave; la principal es el uso de la biderivation reglas para interpretar $mm' \otimes nn'$ en dos formas, para terminar con la hermosa fórmula $$[m,m'] \otimes [n,n']= [m \otimes n,m' \otimes n']. $$

Desde $\kappa$ es una de morfismos tiene un núcleo. El principal resultado de la BL papel implica que este kernel es isomorfo a $\pi_3(X)$ donde $X$ está dado por el pushout de espacios

$$\begin{matrix}K(P,1) & \to & K(P/N,1) \\ \downarrow && \downarrow \\ K(P/M,1) & \to & X \end {de la matriz} $$ mientras que $\pi_2(X) \cong (M \cap N)/ [M.N]$. Un útil caso especial es cuando $M=N=P$, cuando se $X\simeq SK(P,1) $.

10 de enero: para responder A la pregunta original, si usted busca para un objeto universal $M \otimes' N$ para bimultiplicative mapas, luego de tocar el violín con el que expresan $mm' \otimes nn'$ en dos formas, nos lleva a la conclusión de que $M \otimes 'N$ is abelian, and is the usual tensor product of the abelianisations of $M$ N. Este argumento puede encontrarse en algunos de los clásicos en teoría de grupos.

Answer 3

El producto del tensor en definido para $R$-módulos, con % suena en $R$y los grupos abelian son $\Bbb{Z}$-módulos.