Cuando no puede un real de la integral definida, se evaluó utilizando el contorno de la integración?

Question

Algunos de los mayores complejos de análisis de libros de texto de estado que $ \displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}} \, dx$ no puede ser evaluado usando el contorno de la integración.

Pero ahora se sabe que no es cierto, lo que hace que me pregunte si alguna vez se puede definitivamente el estado de una determinada real de la integral definida, no puede ser evaluado usando el contorno de la integración.

Edit: (t.b.) un famoso ejemplo de la anterior afirmación es en el caso de Watson, el Complejo de la Integración y del teorema de Cauchy (1914), página 79:

Answer 1

Hay tales funciones. Por ejemplo, cualquier cosa con infinidad de discontinuidades. Tomar la función de Dirichlet como un ejemplo; es Lebesgue integrable, pero no se podía integrar mediante el método de los residuos, que requiere que sólo hay un número finito de polos de la función en la línea real.