¿Podemos mejorar la constante $6$? $\inf_{0\le x\le 1}\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{|x-p_{j}|}\le 6n\left(1+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2n-1}\right)$

Question

Hace unos días, cuando volví a leer el William Lowell Putnam Competencia de Matemáticas (1979), me encontré con este problema:

Deje $p_{j}\in [0,1],j=1,2,\cdots,n$. Demostrar que $$\inf_{0\le x\le 1}\sum_{j=1}^{n}\dfrac{1}{|x-p_{j}|}\le 8n\left(1+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{2n-1}\right)$$

Este problema se puede dividir la inteval $[0,1]$ a $2n$ intervalos de la misma longitud,$I_{k}=[\dfrac{k}{2n},\dfrac{k+1}{2n})$. Siguiente, elegimos x en un intervalo que no contenga alguno de los números de $p_{j}$,entonces no es difícil demostrarlo.

Pero me enamoré de esta desigualdad derecho constante $8$ más pequeño, $6$ también se espera.

Pregunta 1:

$$\inf_{0\le x\le 1}\sum_{j=1}^{n}\dfrac{1}{|x-p_{j}|}\le 6n\left(1+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{2n-1}\right)$$

Para que yo pueda pensar, el siguiente problema tal vez también es interesante:

Pregunta 2

$$\inf_{0\le x\le 1}\sum_{j=1}^{n}\dfrac{1}{|x-p_{j}|}\le Un\left(1+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{2n-1}\right)$$

Encontrar la mejor constante de la $A$!

Answer 1

Dado $p_1,\ldots,p_n\in[0,1]$ y algunos $r\in\left(0,\frac{1}{2}\right)$, vamos a $f_k(x)$$k=1,\ldots,n$, la función de apoyo en $E_k=[0,1]\cap \{x:|x-p_k|>r\}$ y dada por: $$ f_k(x) = \frac{\mathbb{1}_{E_k}(x)}{|x-p_k|}.\tag{1} $$ Es sencillo comprobar que el valor de la media de $f_k$ $E_k$ en la mayoría: $$ \frac{-\log(2r)}{1-2r}\tag{2}$$ y si nos restringimos $f_k$ a un subconjunto $E\subseteq E_k$, el valor de la media sobre el nuevo conjunto es en la mayoría de las $\frac{|E_k|}{|E|}$ veces $(2)$.

La idea es tomar tan a $E=[0,1]\setminus\bigcup_{k=1}^{n}E_k$ algunos $r\leq\frac{1}{2n}$ y minimizar: $$\frac{-\log(2r)\cdot n}{1-2rn}\tag{3}$$ que es un límite superior para el valor de la media de $f_1+\ldots+f_n$ más de $E$. $E$ tiene una medida positiva, por lo tanto para algunos $x\in E$ $f_1+\ldots+f_n$ se $\leq $ que el valor de la media. Si tomamos $r=\frac{1}{3n}$, por ejemplo, que tenemos de que nuestro $\inf$$\leq 3n\log\left(\frac{3n}{2}\right)$. Claramente $\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2n-1}$ se comporta como $\frac{1}{2}\log(2n)$, por lo que nuestro argumento demuestra que se puede reemplazar la constante $8$ determinado en la declaración original con la conjetura (por Cuestión de $1.$) constante $\color{red}{6}$. Siempre que $n$ es lo suficientemente grande, podemos tomar la $r=\frac{1}{4n}$ y una cota superior que es igual a $2n\log(2n)$, por lo que la anterior constante que puede ser mejorado hasta el $\color{red}{4}$. La misma técnica también se muestra que, si $n$ es lo suficientemente grande, se puede reemplazar el original constante$8$$\color{red}{2+\varepsilon}$.

Considerando equi-espaciados $p_k$s, también podemos comprobar que tal bound es óptima.