Un amigo me pidió que buscara cuál es más grande: $9^{17}$ y $7^{19}$ utilizando sólo cálculos básicos. Le di una solución utilizando la técnica dada en aquí . Sin embargo, no fue tan básico ya que tuve que subir a $6$ de la semana: ${17\choose 5} \left(\frac{2}{7}\right)^5$ cuyo cálculo no era fácil sin calculadora.
¿Puede alguien darme una solución más sencilla (que no requiera calculadora)?
@awllower: He empezado por los dos extremos, he visto que ambos cuadrados difieren en sólo uno de un múltiplo de $10$ , por lo que la izquierda $70\cdot5^9\le9\cdot8^8$ para probar, entonces me di cuenta de que $5^3\approx2^7$ y que dejó $70\lt72$ .
Un enfoque alternativo, suponiendo que se pueda hacer a mano: $$\color{blue}{\left(\frac{7}{9}\right)^3} = \frac{343}{729} \color{blue}{< \frac{1}{2}}$$ Entonces: $$\color{red}{\frac{7^{19}}{9^{17}}} = \left(\frac{7}{9}\right)^{18} \; \frac{9}{7} \; 7^2 = \left( \color{blue}{\left(\frac{7}{9}\right)^3} \right)^6 \; 63 \color{blue}{<} \left(\color{blue}{ \frac{1}{2}} \right)^6 63 = \frac{63}{64} \color{red}{< 1}$$ Así que $\color{red}{7^{19}<9^{17}}$ tras unos cálculos bastante fáciles y sencillos.
La inequidad no es obvia OMI. El numerador del lado izquierdo es mayor que el numerador del lado derecho, y el denominador del lado izquierdo es mayor que el denominador del lado derecho. Si lo que quieres decir es que se puede usar una calculadora en este punto, entonces también se puede usar una calculadora para las expresiones originales.
@barakmanos ¿Por qué no consideras la función $f(x)=\frac{log x}{10+x}$ y ver dónde aumenta o disminuye?
Escribir una pista $9=7\times 1.289$ entonces $9^{17}=7\times 1.28^{17}$ . Ahora divídelo por $7^{19}$ se obtiene $\frac{{1.28}^{17}}{49}$ Ahora usando el binomio para $(1+0.28)^{17}$ y escribir términos hasta $0.28^4$ obtenemos un valor aproximado como $66$ así que $9^{17}>7^{19}$ ten en cuenta que según yo siempre habrá algún cálculo ya que es una cuestión de teoría de números.
Considere $R=\frac {19^{17}}{17^{19}}$
$R=\frac {19^{17}}{17^{17}17^{2}}=\frac 1{289} \frac {19^{17}}{17^{17}}$
$R=\frac 1{289}(1+ \frac {2}{17})^{17}$
Está claro que $\frac {2}{17}=\frac {6}{51}<\frac {6}{50} \Rightarrow (1+\frac {2}{17})<(1+\frac {6}{50})$
Así que $R<\frac 1{289}(1+ \frac {3}{25})^{17}$
$R<\frac 1{289}(1 + 17 \frac {3}{25} + {{16.17} \over 2} \frac {3}{25}\frac {3}{25}+{{15.16.17} \over {2.3}} \frac {3}{25}\frac {3}{25}\frac {3}{25} + ... )$
$R<\frac 1{289}(1 + \frac {17.3}{25} + {{17.3} \over 25} (\frac {16}{2}\frac {3}{25})+{{17.3} \over 25} (\frac {16}{2}\frac {3}{25})(\frac {15}{3}\frac {3}{25})+{{17.3} \over 25} (\frac {16}{2}\frac {3}{25})(\frac {15}{3}\frac {3}{25})(\frac {14}{4}\frac {3}{25}) + ... )$
Cada término sucesivo se multiplica ahora por algo así como $(\frac {18-k}{k}\frac {3}{25})<(\frac {15}{3}\frac {3}{25})=\frac {3}{5}$
Así que $R<\frac 1{289}(1 + \frac {17.3}{25} + {{17.3} \over 25} (\frac {16}{2}\frac {3}{25})+{{17.3} \over 25} (\frac {16}{2}\frac {3}{25})(\frac {3}{5})+{{17.3} \over 25} (\frac {16}{2}\frac {3}{25})(\frac {3}{5})^2 + {{17.3} \over 25} (\frac {16}{2}\frac {3}{25})(\frac {3}{5})^3... )$
La suma de la secuencia geométrica infinita nos da
Así que $R<\frac 1{289}(1 + \frac {17.3}{25} + {{17.3} \over 25} (\frac {16}{2}\frac {3}{25})(\frac {5}{2}) )$
Así que $R<\frac {7.936}{289}$
Así, $R<1$
$\frac {19^{17}}{17^{19}}<1$
${19^{17}}<{17^{19}}$
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