¿Cuál es el número máximo de números primos generados generado consecutivamente por un polinomio de grado $a$?

Question

Deje $p(n)$ ser un polinomio de grado $a$. Comience con hundiendo en argumentos de cero y subir un entero en el tiempo. Hasta han llegado a un argumento entero $n$ $p(n)$'s valor no es primo y contar el número de los distintos prepara a su polinomio ha generado.

Pregunta: ¿cuál es el número máximo de distintos números primos de un polinomio de grado $a$ puede generar por el proceso descrito anteriormente? Además, ¿cuál es la forma general de un polinomio $p(n)$?

Esta pregunta fue inspirado por este artículo.

Gracias,

Max

[Por favor, tenga en cuenta que su polinomio no necesita para generar números primos consecutivos, sólo los números primos consecutivos en positivo argumentos enteros.]

Answer 1

El teorema de Green-Tao afirma que hay arbitrariamente largas progresiones aritméticas de números primos; es decir, secuencias de números primos de la forma $$ b , b+a, b+2a, b+3a,... ,b+na $ $ Dado que tal progresión será los primeros valores de $n$de % del % polinomio $ax+b$, esto implica que incluso para grado 1, no hay ningún límite superior a cuántos números primos consecutivos puede generar un polinomio.

Answer 2

Aquí está el resultado por Rabinowitsch para polinomios cuadráticos.

$n^2+n+A$ es el primer para $n=0,1,2,...,A-2$ si y sólo si $d=1-4A$ es squarefree de la clase y el número de $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$$1$.

Consulte este artículo para obtener más detalles.

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa89/aa8911.pdf

También aquí hay una lista de los imaginarios cuadrática campos con número de clase $1$ http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_number_fields_with_class_number_one#Imaginary_quadratic_fields

Hay muchos otros artículos sobre el primer generación (cuadrática) los polinomios de que usted puede buscar en google.

Answer 3

Aquí es un hecho que pudiera ser de su interés. Existe un polinomio en 26 de las variables con la propiedad de que, si se conecta enteros para todas las 26 variables, y el resultado es un número positivo (siempre será un número entero), entonces la salida es primo. El polinomio se puede encontrar aquí:

http://en.wikipedia.org/wiki/Formula_for_primes

Además, cada primer se produce como un resultado de este polinomio. Este es un modo indirecto de generar números primos, porque no hay ninguna manera fácil de saber si una determinada entrada va a dar una salida positiva.

Al parecer es otro polinomio en 10 variables que hace esto, pero Wikipedia no escribir explícitamente.