¿Regla de escuadrar poderes arbitrarios?

Question

Esta es una pregunta muy simple, pero no sé cómo frase suficientemente bien como para Google. Estoy pasando por una prueba y no entiende cómo:

$$ (q ^ {2 ^ {n + 1}}) ^ 2 = q ^ {2 ^ {n + 2}} $$

¿Pensé sería $q^{4^{n+1}}$ en su lugar, o es equivalentes? Si es así, ¿por qué?

Answer 1

No son equivalentes porque $2^{n+2}\not= 2^{2n+2}=2^{2(n+1)}=(2^2)^{n+1}=4^{n+1}$.

Utilice lo siguiente con cuidado:

$$(q^a)^b=q^{a\color{red}{\times} b}$$ and $$2^c\times 2^d=2^{c\color{red}{+}d}.$$

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$$\big (q^{2^{n+1}})^2=q^{2^{n+1}\times 2}=q^{2^{n+1}\times 2^1}=q^{2^{n+1+1}}=q^{2^{n+2}}$$

Answer 2

No son equivalentes.

Poderes anidados funcionan así:

$$(a^b)^c = a^{bc}$$

Tenga en cuenta que esto es diferente de

$$a^{(b^c)} = a^{b^c}$$

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En tu ejemplo,

\begin{align*} \left(q^{2^{n+1}}\right)^2 &= q^{2 \cdot 2^{n+1}}\\ &=q^{2^{n+2}} \end{align*}

Answer 3

Para responder a tu pregunta, veamos un ejemplo.

Que $q=3$ y $n=1$. Entonces $$q^{2^{n+1}} = 3^{2^{2}} = 3^4 = 81.$ $

Si esta cuadrado obtenemos $$\left(q^{2^{n+1}}\right)^2 = (3^{4})^2 = 81^2= 6561.$ $

Sin embargo, observe % $ $$q^{4^{n+1}} = 3^{4^2} = 3^{16} = 43046721.$

Esto es un poco mayor que $6561$, por lo que las dos expresiones no son iguales.