Existencia de un $n\times n$matriz real $A$ tal que $A^2=-I$.

Question

Deje $A$ $n\times n$ real de la matriz $A$ tal que $A^2=-I$. Tal $A$ no puede ser,

1. Ortogonales.
2. Invertible.
3. Skew-simétrica.
4. Simétrica.
5. Diagonalizable.

Traté de averiguar la respuesta buscando en la [posible] el determinante de a $A$, utilizando el hecho de $\det(AB)=\det(A)\det(B)$. Por lo $\det(A^2)=(\det(A))^2=(-1)^n\det(I)$. Si $n$ es incluso, a continuación, $\det(A)=\pm1$ y si es impar, a continuación,$\det(A)=\pm i$. Allí me quedé, si $n$ es incluso, puedo probar algunos de adivinar, pero al $n$ es impar, el factor determinante es compleja y no tengo ninguna lógica a seguir adelante. Hay otro enfoque que podría ser más correcto? ¿Cómo puedo hacer esto? Que me ayude.

Answer 1

Podemos utilizar la siguiente caracterización de diagonalizable:

Una matriz lineal o mapa es diagonalizable sobre el campo F si y sólo si su polinomio mínimo es un producto de distintos factores lineales más F.

$A^2+I=0$ implica que el $A$ satisface el polinomio $x^2+1$ que es el mínimo polinomio dado es irreducibe sobre los reales. Esta mínima polinomio no es un producto de distintos factores lineales sobre $\mathbb{R}$, lo $A$ no es diagonalizable.

Invertible, el sesgo de simetría, ortogonal puede ser descartado con el ejemplo,$A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$.

Simétrica es falso, por stity comentario de más abajo, ya matrices simétricas son diagonalizable.

Alternativamente, se puede observar que es falso, para $n=2$ el cálculo: $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^2+b^2&\dots\\\dots&\dots\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ no es posible a través de los reales.

Answer 2

Que experimentó con matrices de rotación y poderes y encontré la siguiente solución para $\small n=4$ donde $\small w = \sqrt{1/3}$:

     0   w  -w  w
A=  -w   0   w  w
     w  -w   0  w
    -w  -w  -w  0

Entonces

      -3*w^2       .       .       .
           .  -3*w^2       .       .
  A^2=     .       .  -3*w^2       .  = - I
           .       .       .  -3*w^2

Y también,

• $\small A$ es invertible
• $\small A^{-1} = A^T$ (o $\small A \cdot A^T=I $) que es una condición para matrices ortogonales/orthonormal.
• También $\small A^T = - A$ que significa, $\small A$ es sesgar-simétrico.
• Utilizando números complejos, una diagonalización es posible y da la diagonal $\small D = [1,1,-1,-1] \cdot \sqrt{-3} $