Conseguir exactamente un par en una mano de poker

Question

Yo no soy la comprensión de este problema:

En una baraja de 52 cartas, de 13 de filas y 4 palos, ¿cuántas mano de 5 cartas se puede obtener de forma tal que, siempre hay exactamente un par.

Hay un ejemplo similar aquí . Pero no entiendo la lógica detrás de esto.

Mis pensamientos son:

supongamos que tenemos la mano ${a_{1},a_{2},b,c,d}$ donde $a_{1}$ $a_{2}$ son dos cartas del mismo rango y $b,c,d$ son distintas de las tarjetas de cada uno de los otros y $a$.

Así que mi lógica:

hay $\binom{52}{1}$ formas para recoger $a_{1}$ $ \binom{3}{1}$ formas para recoger $a_{2}$.

y, a continuación, $ \binom{50}{1}$ $b$, $\binom{49}{1}$ para $c$, e $ \binom{48}{1}$ $d$

lo que nos da $\binom{52}{1}\binom{3}{1}\binom{50}{1}\binom{49}{1}\binom{48}{1}$ = $18345600$ formas para conseguir un par...

...que es la respuesta equivocada.

Donde he ido mal?

Answer 1

Hay $\binom{13}{1}$ maneras de escoger el tipo tenemos un par en. Para cada uno de tal manera, tenemos $\binom{4}{2}$ formas de seleccionar las tarjetas actuales.

Para cada una de estas formas, hay $\binom{12}{3}$ maneras de escoger el tipo vamos a tener uno de cada. Para cada uno de estos tipos, hay $\binom{4}{1}$ formas de seleccionar las tarjetas actuales, para un total de $\binom{13}{1}\binom{4}{2}\binom{12}{3}\binom{4}{1}^3$ maneras.

Comentario: Uno de los problemas más comunes en el conteo es involuntaria doble (o múltiple) a contar. Por ejemplo, su $\binom{52}{1}\binom{3}{1}$ incluye el As de $\spadesuit$ junto con el As de $\heartsuit$. Pero también cuenta el As de $\heartsuit$ junto con el As de $\spadesuit$. Estos dan el mismo con un par de mano.

Answer 2

Sugerencia: Cuando se toma $b,c,d$ necesita para asegurarse de que no concuerdan con la pareja, así que hay menos opciones de $50$ $b$.

Answer 3

hay $52\choose 1$ formas para recoger $a_1$ $3\choose 1$ formas para recoger $a_2$ .

Hasta ahora tan bueno, pero tiene más de contado. Por ejemplo: te han contado escoger un diamante en $a_1$ y un corazón para $a_2$ así como recoger un corazón para $a_1$ y un diamante para $a_2$, pero ambos son de la misma selección. Así que, como no importa el orden, es necesario dividir el número de la $2!$ formas de reorganizar esas dos cartas.

Alternativamente, yo sugeriría que el recuento ${13\choose 1}{4\choose 2}$ formas para elegir la cara y dos trajes de los pares de tarjetas.

y, a continuación, $50\choose 1$ b , $49\choose 1$ c y $48\choose 1$ d

Usted tiene que evitar el coger las tarjetas que tienen la misma cara, como un, o unos a otros. Sólo quiere la par. Por su forma en que usted necesita para recuento $48\choose 1$ formas para b, $44\choose 1$ c y, a continuación, $40 \choose 1$ d.

Me gustaría contar la manera de escoger tres caras distintas y un traje para cada uno como: ${12\choose 3}{4\choose 1}^3$

Por lo que su resultado debe ser $$\frac 1 {2!}{52\choose 1}{3\choose 1}{48\choose 1}{44\choose 1}{40\choose 1} = {13\choose 1}{4\choose 2}{12\choose 3}{4\choose 1}^3 $$