En la página 14 de la introducción al Vol. II de la obra de Gödel:
Por un argumento un poco más difícil, uno puede demostrar que GCH sigue si $V=L[a]$ y $a\subseteq\aleph_1$.
¿Alguien sabe de este argumento?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Supongamos $A\subseteq\omega_1$$V=L[A]$.
Tratando de imitar el argumento habitual (que supongo que he visto), debemos empezar con una versión adecuada de la condensación lema. Lo que tenemos es que si $X\prec L_\alpha[A]$ para algunos límite infinito $\alpha$, $X\cong L_\beta[B]$ algunos $B$ y, de hecho, si $\pi:X\to L_\beta[B]$ es el colapso transitivo, a continuación, $B$ es simplemente $\pi''(X\cap A)$.
Supongamos que, en particular, que $X$ es contable, $X\prec L_{\eta}[A]$, $\eta$ lo suficientemente grande. Utilizamos el estándar de hecho de que $X\cap\omega_1$ es un ordinal $\gamma$. (Esto es debido a que para cualquier ordinal $\tau\in X\cap\omega_1$, $X\models$"$\tau$ es contable", por lo que hay en $X$ un surjection $f:\omega\to\tau$. Pero $\omega\subset X$, lo $\tau=f''\omega\subset X\cap\omega_1$.)
Tenemos entonces que el $\pi''(X\cap A)=\pi''(A\cap\gamma)=A\cap\gamma$. "Real" $r\subset\omega$ pertenece a alguna de esas $X$, y por lo $\pi(r)=r$, lo que significa que $r\in L_\beta[A\cap\gamma]$ para algunos contables ordinales $\beta$$\gamma$.
Concluimos señalando que dicha estructura $L_\beta[A\cap\gamma]$ pertenece a $L_{\omega_1}[A]$, que tiene el tamaño de $\omega_1$, y por lo tanto sólo hay $\omega_1$ muchos de reales, es decir, $\mathsf{CH}$ mantiene.
Para $\kappa>\omega$, podemos implementar el argumento habitual directamente, asumiendo $X$ tiene el tamaño de $\kappa$ que es al menos el $\omega_1$, e $\kappa\subset X$, e $A\in X$. Ahora el colapso de $X$ tiene la forma $L_\beta[A]$ algunos $\beta<\kappa^+$. Dado $Y\subset\kappa$, podemos suponer que $Y\in X$, lo que nos da $\pi(Y)=Y\in L_\beta[A]$, por lo que cada subconjunto de $\kappa$ pertenece a $L_{\kappa^+}[A]$, que tiene el tamaño de $\kappa^+$. La conclusión es que el$2^\kappa=\kappa^+$.
