¿Si en un grupo G un elemento $x$ tiene la propiedad tal que $x^2 = e$, hace que entrañará el $x = e$?

Question

Parece que no puedo probar que $x = e$ $x = x^{-1}$.

Answer 1

$(-1)^2=1 \phantom{ }$.

Answer 2

Esto es debido a que no se puede hacer. Considerar el grupo que consta de $-1$ $1$ bajo la multiplicación ordinaria.

Hay muchos otros ejemplos. Un elemento $x$ tal que $x^2=e$ pero $x\ne e$ se llama un elemento de orden $2$. Muchos grupos tienen uno o más elementos de orden $2$.

Consideremos por ejemplo el grupo de la distancia-la preservación de las asignaciones desde el avión a sí mismo. Deje $a$ ser la rotación sobre el origen a través de la $180^\circ$. A continuación, $a^2$ es la identidad, sino $a$ no lo es. Deje $b$ ser reflejo de una cierta línea de $\ell$. A continuación, $b^2$ es la identidad, sino $b$ no lo es.

O bien considerar el grupo de todas las permutaciones del conjunto $\{a,b,c,d,e\}$. Deje $\sigma$ ser la permutación que los intercambios $a$$b$, y deja a los demás solo. A continuación, $\sigma^2$ es la identidad, sino $\sigma$ no lo es.

Answer 3

$\mathbb Z_4$ $x=2$ Tomar. Entonces $x+x$ $e$ $x\ne e$, entonces la respuesta es 'no'.

Answer 4

[$x^2=e \Rightarrow x=e$] si el orden de $x$ es impar. Para que $n$ la orden de $x$y escriba $n=2m+1$, asumir $x^2=e$. Entonces $e=x^n=x^{2m+1}=(x^2)^m \cdot x= e^m \cdot x= x$.

Answer 5

Es decir, eso si $x \neq e$ $|x|=2$ (orden de $x$).