Deje $\mathcal{M}=\{M,<,\ldots\}$ o un mínimo de estructura de primer orden, es decir, una estructura en donde cada definibles por el conjunto en $M$ es finito unión de puntos e intervalos con extremos en a $M\cup \{\pm\infty\}$.
Para $n,m<\omega$, $n\neq m$, puede existe una definibles bijection $b:M^n\rightarrow M^m$?
Puedo resumir algunos de los resultados que tienen en o-un mínimo de estructuras.
Monotonía Teorema de Cada función definibles $f:M\rightarrow M$ es seccionalmente continua y monótona (es decir, estrictamente creciente, decreciente o constante).
Uniforme de la finitud Deje $\phi(x,y)$ ser una fórmula, $x\in M^n$, $y\in M^m$, y vamos a denotar $A_{y}:=\{x\in M^n\,:\,\mathcal{M}\models \phi(x,y)\}$. Podemos decir $\{A_y\,:\, y\in M^m\}$ es una manera uniforme definibles familia de conjuntos. Existe $k<\omega$ tal que para todos los $y\in M^m$ $|A_{y}|<k$ o $A_{y}$ es infinito.
Por el teorema de monotonía es fácil ver que no es definible bijection $b:M\rightarrow M^2$.
La prueba Deje $b:M\rightarrow M^2$ ser definible bijections. Considere la función $b_0:p_0 \circ b$, es decir, la composición de $b$ con la proyección en la primera coordenada. $b_0$ es definible y por tanto, por el teorema de monotonía no existe $x_1<\cdots<x_l$ $M$ tal que $b_0$ es monotote en $I_0=(-\infty, x_1)$, $I_i=(x_i,x_{i+1})$ para$1\leq i <l$$I_l=(x_l,+\infty)$.
Tenga en cuenta que $b_0$ es surjective y llega a cada valor en $M$ infinidad de veces. Para $a\in M$, ya que el $b_0^{-1}(a)$ es infinito, debe haber un intervalo de $I_i$ cuando hay más de dos elementos que se asignan a $a$, lo $b_0$ es constante en $I_i$. De ahí se desprende el hecho de que cada elemento de la imagen de $b_0$ se asigna un número infinito de veces que la imagen de $b_0$ debe ser finito, por lo $b_0$ no puede ser surjective.
