2009 Benelux Olimpíadas de Matemáticas (BxMO) número teoría problema

Question

El problema siguiente es tomado de la primera Benelux Olimpiada Matemática que se produjo en 2009.

Deje $n$ ser un entero positivo y deje $k$ ser un entero positivo impar. Por otra parte, vamos $a$, $b$ y $c$ ser enteros (no necesariamente positiva) que satisface la ecuación $$a^n+kb=b^n+kc=c^n+ka.$$ Prove that $a=b=c$.

Traté de analizar algunas congruencias módulo $k$, $a$, $b$ y $c$, pero parece que estas relaciones no ayuda lo suficiente. Además, no he encontrado una solución para este problema. Usted puede acceder a todos los otros problemas de otros años en la BxMo sitio.

Answer 1

Es claro a partir de las ecuaciones que si dos de entre $a, b, c$ son iguales, los tres deben ser.

Así que supongo que son todas diferentes. Luego tenemos a partir de las ecuaciones $$k = \frac{b^n-a^n}{b-c}= \frac{c^n-b^n}{c-a} = \frac{a^n-c^n}{a-b} \tag{1}$$

Entre los tres $a, b, c$, debemos tener dos de la misma paridad. WLOG deje $a \equiv b \pmod 2$. A continuación, para $k$ a ser un número entero impar, de $(1)$, debemos tener $c$ también de la misma paridad.

De manera similar, ahora entre $a \equiv b \equiv c \pmod 2$, debemos tener dos que son equivalentes $\pmod 4$. De nuevo de $(1)$, esto obligaría a la tercera también a ser equivalente a $\pmod 4$.

Continuando de esta manera, podemos tener $a \equiv b \equiv c \pmod {2^m}$, para algún entero $2^m > \max(|a|, |b|, |c|)$, dicen, lo cual es absurdo.