Encontrar x en $\frac{\,_2F_1(\frac{1}{5},\frac{4}{5},\,1,\,1-x)}{\,_2F_1(\frac{1}{5},\frac{4}{5},\,1,\,x)} = \sqrt{n}$

Question

Estaba tratando de encontrar una forma cerrada para $0<x<1$ en,

$$\frac{\,_2F_1(\frac{1}{m},\,1-\frac{1}{m},\,1,\,1-x)}{\,_2F_1(\frac{1}{m},\,1-\frac{1}{m},\,1,\,x)} = \sqrt{n}$$

donde $\,_2F_1(a,b,c,z)$ es el función hipergeométrica . Existen fórmulas para $m = 2,3,4,6$ Así que me preguntaba si hay para otros m también. Sin embargo, una cosa que he observado es que, vamos,

$$q = \exp\left(\frac{-\,\pi\sqrt{n}}{\sin(\pi/m)}\right)$$

Conjetura :

$$\lim_{n\to \infty}\frac{x}{q} = \text{constant}$$

a saber,

$$\begin{array}{cc} m&\lim_{n\to \infty}\frac{x}{q}\\\\ 2&16\\ 3&27\\ 4&64\\ 5&25\sqrt{5}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^\sqrt{5}=163.95\dots\\ 6&432\\ 7&1152.795095384373\dots\\ 8&2^8\left(1+\sqrt{2}\right)^{2\sqrt{2}}=3096.65\dots\\ \end{array}$$

y así sucesivamente. Esto implica una buena aproximación a x en,

$$\frac{\,_2F_1(\frac{1}{5},\frac{4}{5},\,1,\,1-x)}{\,_2F_1(\frac{1}{5},\frac{4}{5},\,1,\,x)} = \sqrt{n}$$

está dada por,

$$x \approx 25\sqrt{5}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^\sqrt{5} \exp\left(\frac{-\,\pi\sqrt{n}}{\sin(\pi/5)}\right)$$

(Se puede resolver numéricamente para x para un determinado n utilizando el programa de Mathematica FindRoot mando).

Pregunta : ¿Es cierta la conjetura? ¿Y cuál es la forma cerrada para la constante $1152.79509\dots$ cuando $m=7$ ?

EDITAR :

Por cortesía de la respuesta de Sasha más abajo, entonces la forma cerrada para m \= 7, como son los radicales elevados a potencias radicales,

$$ (14)^2 \prod_{k=1}^{3} \frac{1}{\sin(\pi k/7)^{4\cos(2\pi k/7)}} = 1152.79509\dots$$

En general,

$$\lim_{n\to\infty}\frac{x}{q} = (2m)^2 \prod_{k=1}^{\lfloor (m-1)/2 \rfloor} \frac{1}{\sin(\pi k/m)^{4\cos(2\pi k/m)}} $$

Answer 1

La función hipergeométrica ${}_2F_1\left(\frac{1}{m}, 1-\frac{1}{m} ; 1; y\right)$ es un incremento de $y$ a partir de 1 para $y=0$ y aumentando ilimitadamente como $y$ se acerca a uno.

Así, para los grandes $n$ debemos esperar $x$ para ser pequeño. Tomando la primera a términos de la expansión en serie a la unidad : $$ {}_2F_1\left(\frac{1}{m}, 1-\frac{1}{m} ; 1; 1 - x \right) = -\frac{1}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{m} \right) \left( \log x + 2 \left( \gamma + \psi\left(\frac{1}{m} \right) \right) \right) - \cos\left(\frac{\pi}{m} \right) + \mathcal{O}(x) $$ que coincide con la expansión de la razón de las funciones hipergeométricas. $$ \frac{ {}_2F_1\left(\frac{1}{m}, 1-\frac{1}{m} ; 1; 1 - x \right) }{ {}_2F_1\left(\frac{1}{m}, 1-\frac{1}{m} ; 1; x \right)} = -\frac{1}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{m} \right) \left( \log x + 2 \left( \gamma + \psi\left(\frac{1}{m} \right) \right) \right) - \cos\left(\frac{\pi}{m} \right) + \mathcal{O}(x) $$ Esto da una gran $n$ aproximación de la raíz: $$ x_n = \exp\left( -\frac{\pi}{\sin\left(\frac{\pi}{m}\right)} \left( \sqrt{n} + \cos\left(\frac{\pi}{m}\right) \right) - 2 \left( \gamma + \psi\left(\frac{1}{m}\right) \right) \right) $$ donde $\gamma$ denota el Constante de Euler-Mascheroni . A partir de aquí, denotando $q_n = \exp\left( -\frac{\pi \sqrt{n} }{\sin\left(\frac{\pi}{m}\right)} \right)$ $$ \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{q_n} = \exp\left( -\frac{\pi}{\tan\left(\frac{\pi}{m}\right)} - 2 \left( \gamma + \psi\left(\frac{1}{m}\right) \right) \right) $$

La expresión para $m=5$ coincide numéricamente con su expresión, lo que implica $$ \psi\left(\frac{1}{5}\right) = -\gamma - \frac{1}{2} \left( \pi \sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{5}}} + \ln\left( 25 \sqrt{5} \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{\sqrt{5}} \right) \right) \tag{1} $$ He comprobado esta identidad utilizando Mathematica y se encontró que coincidía con 50.000 puntos decimales significativos:

In[136]:= N[(-(Log[25*Sqrt[5]*((1 + Sqrt[5])/2)^Sqrt[5]] + 
               Sqrt[(1/5)*(5 + 2*Sqrt[5])]*Pi))*(1/2) - EulerGamma, 
  50000] - N[PolyGamma[1/5], 50000]

Out[136]= 0``49998.97559316131

Me pregunto si esta identidad es conocida. Esta identidad es la Teorema del digamma de Gauss para $k=5$ y $m=1$ (gracias Edgar): $$ \psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) -\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lfloor (k-1)/2\rfloor} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right) $$