Soluciones a $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{100}$ ?

Question

Ayer me encontré con este problema y lo resolví con éxito. Estoy interesado en ver el enfoque de otras personas para resolver este problema.

Problema: ¿Cuántos pares ordenados $(a, b)$ son soluciones a $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{100}$ donde $a, b \in \mathbb{Z}$ ?

Edición: La solución es:

$49$

Answer 1

Esta es mi solución.

Así que empezamos con $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{100}$ . Podemos reescribir esto como $$\frac{100}{a} + \frac{100}{b} = 1$$ $$100a + 100b = ab$$ $$ab - 100a - 100b = 0$$ $$ab - 100a - 100b + 100^2 = 10000$$ $$(a - 100)(b - 100) = 10000$$

Así que ahora me doy cuenta de mis soluciones $(a, b)$ corresponden a los factores negativos y positivos $(a - 100) = f$ , $(b-100) = g$ donde $fg = 10000$ .

Entonces encuentro la factorización prima de $10000 = 2^45^4$ . Así que tenemos $5\cdot5 = 25$ posibles factores positivos de $10000$ . Correspondiente a $50$ soluciones positivas y negativas. Excepto que me di cuenta de que tenemos que excluir el par $(-100, -100)$ factores de $10000$ ya que estos corresponden al par $(a, b) = (0, 0)$ y no podemos dividir por cero.

Por lo tanto, hay $49$ soluciones.

Answer 2

Esto me recordó a problema 454 del proyecto Euler para el que escribí un algoritmo hace un año. (Aquí es el algoritmo si alguien está interesado)

Así es como yo resolvería esta cuestión.

Observe que

$$\frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \\ \frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} \\ \frac{1}{4} = \frac{1}{5} + \frac{1}{20}$$

que se puede generalizar en

$$\frac{1}{a} = \frac{1}{a+1} + \frac{1}{a^2+a}$$

Así que inmediatamente tenemos nuestra primera solución:

$$\frac{1}{100} = \frac{1}{101} + \frac{1}{10100}$$

Obsérvese que la ecuación anterior puede generalizarse en

$$\frac{1}{a} = \frac{1}{(a+n)} + \frac{n}{a^2+an}$$

en cuyo caso $n$ puede convertirse en 1 siempre que $n$ es divisible por $a^2+an$ . Por lo tanto, encontrar todas las soluciones de la ecuación es básicamente encontrar cuántas $n$ que son divisibles por $a^2$ - ¿cuántos factores $a^2$ tener.

Nota: la pregunta pide el número de pares ordenados, en cuyo caso la suma de 2 fracciones distintas cuenta como 2.

Answer 3

Tenemos $$\dfrac1a+\dfrac1b = \dfrac1{n}$$ Esto significa que tenemos $$n(a+b) = ab \implies ab - n a -n b = 0 \implies (a-n)(b-n) = n^2$$ Por lo tanto, cada par de divisores de $n^2$ da un posible valor para $a$ y $b$ es decir, si $d_1d_2 = n^2$ podemos establecer $a=n+d_1$ y $b=n+d_2$ para obtener todas las soluciones. Por lo tanto, el número de pares es el número de divisores (tanto positivos como negativos) de $n^2$ .

Answer 4

Tomando en serio la petición de enfoques alternativos, aquí hay uno que funcionará si no te importa hacer un gran (pero finito ) de prueba y error:

Tras constatar que $a=b=200$ es una solución, podemos contar el resto duplicando el número de soluciones con $0\lt|a|\lt |b|$ . Esto lo podemos encontrar después de observar que $|b|\gt|a|\ge200$ implica

$$\left|{1\over a}+{1\over b}\right|\le{1\over|a|}+{1\over|b|}\lt{1\over200}+{1\over200}={1\over100}$$

por lo que basta con buscar en el rango $-199\le a\le 199$ (saltando $a=0$ ), para ver con qué frecuencia $b=100a/(a-100)$ es un número entero cuyo valor absoluto es mayor que $|a|$ .

Por favor, no estoy diciendo que esto sea una inteligente manera de resolver el problema, sólo que es un enfoque que está garantizado que funcione.

Answer 5

$$ab=100(a+b)$$ $$(a-100)(b-100)=10^4$$