Set $R = k[x]/(x^{n+1}),\,u=x\otimes 1-1\otimes x,\,v=\sum_{i=0}^n x^i\otimes x^{n-i} \in R^e := R \otimes_k R$.
En primer lugar, vamos a recordar de Weibel (Ex. 9.1.4) que en la enseñanza el caso de que una resolución proyectiva de $R$ $R^e$ está dado por el periódico complejo
$$\cdots \xrightarrow[]{v} R^e \xrightarrow[]{u} R^e \xrightarrow[]{v} R^e \xrightarrow[]{u} R^e \xrightarrow[]{\mu} R \to 0$$
Ahora supongamos $R$ es un DGA con $\deg(x)=d$ cero y diferenciales. El segundo implica
que las nociones de la homología de Hochschild de $R$ DGA y de como álgebra graduada de acuerdo. Por lo tanto podemos calcular la homología de Hochschild de $R$ por una resolución proyectiva de $R$ $R^e$ en la categoría de graduados $R^e$-módulos.
Para un graduado $R^e$-módulo de $M$ deje $\Sigma^kM$ el pasado graduales $R^e$-módulo dada por
$(\Sigma^kM)_i := M_{i-k}$. Set $e_k := (0,\ldots,1\otimes 1,\ldots 0) \in (\Sigma^kR^e)_k$. A continuación, $\Sigma^kR^e=R^e\cdot e_k$ es un servicio gratuito de clasificados $R^e$-módulo (en particular es un proyectiva objeto en la categoría de graduados $R^e$-módulos).
Teniendo en cuenta $\deg u = d, \,\deg v=nd$, se puede ajustar la resolución proyectiva de Weibel de arriba y encontrar las siguientes proyectiva resolución de $R$ $R^e$ (tomado en
la categoría de graduados $R^e$-módulos):
$$\cdots \to \Sigma^{(n+1)d}R^e \xrightarrow[]{d_2} \Sigma^dR^e \xrightarrow[]{d_1} R^e \to R \to 0$$
$$\cdots \a \Sigma^{(n+1)di}R^e\xrightarrow[]{d_{2i}}\Sigma^{(n+1)di-nd}R^e
\xrightarrow[]{d_{2i-1}}\Sigma^{(n+1)d(i-1)}R^e\a\cdots $$
donde $d_{2i}: e_{(n+1)di} \mapsto v\cdot e_{(n+1)di-nd},\,d_{2i-1}: e_{(n+1)di-nd} \mapsto u \cdot e_{(n+1)d(i-1)}$.
Ahora $HH_\ast(R,M)$ puede ser calculado por el tensoring este complejo con $M$ ( $R^e$ ) y la toma de la homología. Usando la relación $M \otimes_{R^e}\Sigma^kR^e=\Sigma^k M$ se obtiene, por ejemplo, para $M=R$ el complejo
$$\displaystyle\cdots \a \Sigma^{(n+1)di}R\xrightarrow[]{d_{2i}}\Sigma^{(n+1)di-nd}R
\xrightarrow[]{0}\Sigma^{(n+1)d(i-1)}R\a\cdots $$
donde $d_{2i}: e_{(n+1)di} \mapsto (n+1)x^n\cdot e_{(n+1)di-nd}$. Por lo tanto
Si $n+1$ es invertible en a $k$ a continuación (como graduales $R$-módulo)
$$HH_{2i}(R,R)=\Sigma^{(n+1)di}Rx,\quad HH_{2i-1}(R,R)=\Sigma^{(n+1)di-nd}R/(x^n), \quad H_0(R,R)=R.$$
