Demostrar la desigualdad de $\frac{1}{1999}<\frac{1\cdot3\cdot5\cdot7\cdots1997}{2\cdot4\cdot6\cdot8\cdots1998}<\frac{1}{44}$

Question

probar esta desigualdad. $\dfrac{1}{1999}<\dfrac{1\cdot3\cdot5\cdot7\cdots1997}{2\cdot4\cdot6\cdot8\cdots1998}<\dfrac{1}{44}$ He tratado de convertir esta serie en factorial forma. No estoy recibiendo de qué hacer con este tipo de números de $44$$1999$.

Answer 1

Sugerencia: a la Izquierda de la desigualdad: el Aumento de cada término en el denominador por 1. La masa de cancelación se produce.

Sugerencia: a la Derecha de la desigualdad: Utilice el hecho de que $ (n-1)(n+1) < n^2$, muestran que

$$ A = \frac{ 1 \times 3 \times 5 \times \ldots 1997 } { 2 \times 4 \times 6 \times \ldots 1998 } < \frac{ 2 \times 4 \times 6 \times \ldots \times 1998} { 3 \times 5 \times \ldots \times 1999} = B.$$

A continuación, $ A^2 < AB = \frac{1}{1999}$

Answer 2

Sugerencia: $1\cdot3\cdot5\cdot7\cdots1997=\frac {1997!}{998!2^{998}}$, por lo que
$\dfrac{1\cdot3\cdot5\cdot7\dots1997}{2\cdot4\cdot6\cdot8\dots 1998}=\dfrac{(1\cdot3\cdot5\cdot7\dots1997)^2}{1998!}=\dfrac {(1997!)^2}{998!^22^{998}1998!}$

Ahora Stirling aproximación debería ayudar a

Añadido: usted puede hacer la derecha por inducción. Queremos demostrar que la expresión con mayor factor en el denominador $n$ es de menos de $\frac 1{\sqrt n}$. Tenga en cuenta que $\frac 12 \lt \frac 1{\sqrt 2}$. Suponga $\dfrac{1\cdot3\cdot5\cdot7\dots(k-1)}{2\cdot4\cdot6\cdot8\dots k}\lt \frac 1{\sqrt k}$ Después de llegar a la $k+2$ multiplicamos por la izquierda por a $\frac {k+1}{k+2}$ y en el derecho por $\frac {\sqrt k}{\sqrt {k+2}}$

Answer 3

Para la izquierda la desigualdad, tomar el 1998 en la parte inferior de la fracción y mover a la izquierda, ahora tiene:

$\frac 1 {1998} * \frac 32 * \frac 54 * \frac 76$...

Desde $\frac 1 {1999} < \frac 1 {1998}$ y el lado derecho es ahora que se multiplica por un grupo de fracciones mayores que 1, la desigualdad aún se mantiene.

De trabajo sobre el derecho de la desigualdad, pero creo que esta es la manera más fácil para la izquierda de la desigualdad.

Answer 4

Sólo para ampliar el comentario que hice, deje $X = \dfrac{1\cdot3\cdot5\cdot7\cdots1997}{2\cdot4\cdot6\cdot8\cdots1998}$. A continuación, el derecho de la desigualdad es equivalente a mostrar $$ \frac1{X^2} > 44^2 \iff \frac{2^2}{1 \cdot 3} \cdot \frac{4^2}{3 \cdot 5}\cdot \frac{6^2}{5 \cdot 7} \cdots \frac{1998^2}{1997 \cdot 1999}> \frac{44^2}{1999}$$ $$\iff \prod_{k=1}^{999} {\frac{(2k)^2}{(2k)^2-1}} > \frac{1936}{1999}$$

Como todos los factores de la izquierda es mayor que $1$ la desigualdad es evidente.

Para la izquierda de la desigualdad, como el primer comentario que menciona, simplemente multiplique por $1999$ para obtener $$\iff 1 < 1 \cdot \frac32 \cdot \frac54 \cdots\frac{1999}{1998}$$ lo que es obvio.