¿Todo conjunto finito definible no vacío $S$ ¿tiene un miembro definible?
EDIT: Aquí hay algunas formas de formalizar la pregunta, para que elijas tu favorita y la respondas. Asume los cardenales grandes que quieras.
(1) ¿Es coherente con ZFC que haya un cardinal inaccesible $\delta$ y un conjunto finito no vacío que es definible de primer orden sin parámetros sobre $(V_\delta,\in)$ pero no tiene elementos definibles de primer orden sin parámetros sobre $(V_\delta,\in)$ ?
(2) ¿Hay cualquier ¿un modelo de ZFC que tenga un conjunto finito no vacío, definible de primer orden sin parámetros sobre el modelo, sin ningún elemento que sea definible de primer orden sin parámetros sobre el modelo?
(3) ¿Es consistente con ZFC que exista un conjunto finito no vacío definible por ordinal con ningún miembro definible por ordinal? (Soy consciente de la pregunta https://mathoverflow.net/questions/17608/a-question-about-ordinal-definable-real-numbers pero esa pregunta se refiere a conjuntos de números reales y ya sé la respuesta a mi pregunta para conjuntos de números reales como se explica a continuación.
(4) Cualquiera de las formulaciones anteriores con la sustitución de ZFC por ZF.
Si un conjunto definible $S$ está contenido en un conjunto con un ordenamiento lineal definible $\le$ por ejemplo, la ordenación habitual en $\mathbb{R}$ o, más generalmente, la ordenación lexicográfica en $\mathcal{P}(\kappa)$ para algún ordinal $\kappa$ entonces, por supuesto, el $\le$ -menor elemento de $S$ es definible.
Cualquier conjunto no vacío admite una suryección definible desde $\mathcal{P}(\kappa)$ para algún ordinal $\kappa$ (sólo conjuntos de códigos en $H(\kappa)$ por subconjuntos de $\kappa$ en la forma habitual) pero esto no parece ayudar porque no conozco ningún ordenamiento lineal definible en $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\kappa))$ .
