Mapa cerrado bajo la adición, pero no de la multiplicación

Question

He estado ayudando a los universitarios en una introducción al álgebra lineal curso. A la hora de resolver algún ejercicio que consiste en demostrar que se trata de un mapa lineal de algunos flojos después de demostrar que es cerrado bajo la suma y no demostrar que el cierre bajo la multiplicación escalar. Yo quería enfrentarse a ellos con un ejemplo de un mapa cerrado bajo la adición, pero no en virtud de la multiplicación, pero no pudieron llegar con un ejemplo. ¿Tienes alguna?

Answer 1

$T:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ definido por $T(z)=\bar{z}$ $T(z_1+z_2)=T(z_1)+T(z_2)$ pero $T(cz)\neq cT(z)$

Answer 2

Sobre los números reales, esto es duro. Cualquier aditivo mapa es lineal en $\mathbb{Q}$, por lo que será lineal en $\mathbb{R}$ tan pronto como sea continua. Sin embargo, no son discontinuos aditivo mapas, incluso $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, por ejemplo, $\sqrt{2}\mapsto \pi, \pi\mapsto\sqrt{2}$, se extienden por $\mathbb{Q}$-linealidad y corregir todo lo demás. $\pi$ $\sqrt{2}$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$, por lo que esta es bien definida.

Answer 3

Si usted toma cualquier campo $F$, y un homomorphism de aditivo grupos $(F,+)\to (F,+)$ que no conserva la multiplicación, entonces esto va a ser sólo un mapa.

Este es nunca va a existir cuando el $F$ es el campo de los números racionales, o, más en general, cuando es generada por la unidad (tales como la ${\bf F}_p$ primer $p$), debido a que en aquellos, podemos definir la multiplicación en los términos de la adición.

Algo similar sucede si se mira continua aditivo mapas topológicos campo generado topológicamente por la unidad (es decir, el más pequeño de subcampo es densa), como los reales o $p$-adics-todo continuo aditivo mapa es lineal en este caso.

Por otro lado, si usted no se preocupan acerca de la continuidad, es bastante fácil de definir un mapa de al $F=K[a]$ es una extensión finita de otro campo $K$. A continuación, puede simplemente tomar $f\colon F\to F$ como el mapa tal que $f(a^n)=0$$0<n<\deg a$$f(k)=k$$k\in K$. Por ejemplo, si $K={\bf R}$ y $a=i$, $f$ toma la parte real de un número complejo. En este caso, el mapa es aún continua.

Para los campos que no son finitos extensiones de otros campos (como $F={\bf R}$), la existencia de tales mapas puede requerir un trivial de la aplicación del axioma de elección, o más precisamente, el teorema de la base y, a continuación, se puede proceder como en el apartado anterior: si $K\subseteq F$ es una extensión de campo, a continuación, el mapa de $F\to F$ que es la identidad en $K$ y lleva una base complementaria a $1$ a cero es $K$-lineal, y por lo tanto aditivo.

Answer 4

Considere la posibilidad de cualquier campo homomorphism $L \to L$, y considerar la posibilidad de $L$ como un espacio vectorial sobre un campo, que no está fijo por el mapa.

Desde ese punto de vista, la "fácil" ejemplo de ello es Frobenius en $\mathbb F_4$.

Tenga en cuenta que hay 8 aditivo de mapas en el campo con 4 elementos, de los cuales 4 son también lineales.