Es allí positivo diferenciable $f: {\mathbb R}_+ \to {\mathbb R}_+$ tal que $f'(x) > f(x)^2$ todos los $x$? Parece que la respuesta es no, porque por ejemplo una función tiene una asíntota vertical en algún momento.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Para cualquier $x$$f(x) \neq 0$, su condición es la misma que $${d \over dx} \bigg({1 \over f(x)}\bigg) < - 1 \tag 1$$ Tenga en cuenta que $f'(x) > f(x)^2$ implica que el $f(x)$ es estrictamente creciente. Así que hay un $x_0$ que $f(x_0) = 0$.
Por el valor medio teorema, para $x > x_0$ $a > 0$ ha ${1 \over f(x + a)} - {1 \over f(x)} < -a$. Por tanto, para $a$ lo suficientemente grande, ${1 \over f(x + a)} < 0$, contradiciendo que el rango de $f$ está contenido en ${\mathbb R}^+$. Por lo tanto no hay tal $f(x)$ puede existir.
Milo Brandt
Puntos
23147
No. Cualquier función tiene una asíntota vertical. La solución a $g'(x)=g(x)^2$$g(x)=\frac{-1}{x+c}$. En particular, supongamos que tenemos un $f$ satisfacción $f'(x)>f(x)^2$ todos los $x$. A continuación, elija $g$ para satisfacer: $$g(1)=f(1)$$ $$g'(x)=g(x)^2.$$ Está claro que $g$, siendo la de la antes mencionada forma, se tiene una asíntota. De hecho, para ser explícitos, tenemos $$g(x)=\frac{-1}{x-1-\frac{1}{f(1)}}$$ que tiene una asíntota en $1+\frac{1}{f(1)}$. Sin embargo, es claro que $f(x)>g(x)$ todos los $x>1$. Por lo tanto, $f$ debe tener una asíntota en o antes de las $1+\frac{1}{f(1)}$.
