¿Por qué el apego a los símplices en (co)homología?

Question

He estado pensando un poco por qué definimos los grupos singulares de homología y cohomología con símplos en lugar de, digamos, cubos, y me parece que los aspectos elementales de la teoría serían más elegantes si utilizáramos cubos:

Digamos que definimos $C_n(X)$ sea el grupo abeliano libre sobre mapas $[0,1]^n \to X$ el operador límite $\partial$ como la define Spivak en su primer libro de geometría diferencial (o probablemente Calculus on Manifolds), y $H_n(X)$ son los grupos homológicos del complejo resultante. Lo primero que hay que demostrar es que los mapas homotópicos $f,g: X \to Y$ inducen mapas homotópicos en cadena $S(f),S(g):C_n(X) \to C_n(Y)$ y esto no es lo más obvio del mundo si usamos símplices - tenemos que descomponer $\Delta ^n \times [0,1]$ en una unión de $(n+1)$ -simples. Pero con cubos la prueba se reduce a lo siguiente:

Defina $P:C_n(X) \to C_{n+1}(Y)$ sobre cubos singulares $\sigma : [0,1]^n \to X$ por $P(\sigma) = F \circ (\sigma \times id)([0,1]^{n+1})$ donde $F$ es una homotopía de $f$ a $g$ . Entonces la prueba de que $\partial P = S(g)-S(f)-P \partial$ se deduce formalmente de la definición de $\partial$ pero también es bastante claro - dice que el límite del cubo singular $P(\sigma)$ es la parte superior menos la parte inferior menos los lados (también, $P(\sigma)$ es un cubo singular, y si trabajamos con símplices, sólo es una cadena singular).

A continuación queremos demostrar que los grupos homológicos pueden calcularse utilizando cubos pequeños. De aquí se obtienen fácilmente los teoremas de escisión y las secuencias de Mayer-Vietoris. Con los símplices tenemos que definir la subdivisión baricéntrica, que es una bella idea geométrica pero parece imposible de definir sin alguna notación decididamente fea. Sin embargo, para los cubos, podemos utilizar la subdivisión estándar de un cubo en $2^n$ cubos con los lados divididos por la mitad. Es decir, si $I_0 = [0,1/2]$ y $I_1 = [1/2,1]$ podríamos definir para $\sigma : [0,1]^n \to X$ ,

$B(\sigma) = \sum_f (-1)^{\sum f(i)} \sigma | I_{f(1)} \times I_{f(2)} \times \cdots \times I_{f(n)}$ ,

la suma de las funciones $\{1,2,\dots , n\} \to \{0,1\}$ . ¡No es necesaria ninguna fórmula inductiva para la subdivisión! Demostrando que $B$ da un mapa en cadena homotópico a la identidad es conceptualmente más fácil que con la subdivisión baricéntrica de nuevo ya que $[0,1]^n \times [0,1] = [0,1]^{n+1}$ y la subdivisión del $(n+1)$ -está relacionada de forma relativamente clara con la subdivisión del $n$ -cubo.

Última nota: digamos que queremos definir para una variedad lisa un mapa del complejo de de Rham al complejo de cochain Hom $(C_n(X), \mathbb{R})$ . Como de costumbre, lo definimos como $\alpha \mapsto \big(c \mapsto \int _c \alpha\big)$ . El hecho de que se trate de un mapa en cadena es exactamente el teorema de Stokes para cubos, que se reduce al teorema fundamental ordinario del cálculo y a intercambiar los órdenes de integración y podría hacerse de forma ad-hoc en cualquier libro de texto de topología algebraica elemental sin ocupar más de media página.

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Resumiendo, parece que el formalismo del principio de un curso de topología algebraica podría agilizarse y hacerse más intuitivo si definiéramos los grupos de homología utilizando cubos. Además, la equivalencia de la definición de cubo y la definición de símplex es fácil porque podemos descomponer un cubo en símplices. Entonces, ¿por qué los libros de topología algebraica introductoria no utilizan cubos? Quizá la gente piense que los símplices no son mucho más difíciles de manipular que los cubos y haya cierta inercia histórica, pero los cubos también parecen tener un papel central en otros campos de las matemáticas (por ejemplo, los cubos de Whitney, los caminos rectangulares como los que la mayoría de los libros utilizan para demostrar el teorema de Runge, la demostración habitual del teorema de Stokes/teorema de Green).

¿Puede alguien citar un lugar en el que se puedan utilizar símplices pero no cubos, o dar una buena justificación para el uso de símplices en lugar de cubos?

Answer 1

En muy lo primero que necesitamos es que $H_*(pt) = \Bbb Z$ en el grado cero y es cero en el resto. Tu definición, tal y como está planteada, no tiene esto. Claramente $C_*(pt) = \Bbb Z$ en todos los grados, pero el mapa límite es siempre idénticamente cero (a diferencia del caso simplicial, donde el mapa límite alterna entre ser la identidad y ser cero). Por tanto, los grupos de cohomología $H_n(pt) = \Bbb Z$ .

La forma de evitarlo es modulando por "cubos degenerados", aquellos que sólo dependen de $(n-1)$ de la $n$ variables en tu cubo. Cuando defina $C_n(X)/Q_n(X)$ para ser el complejo de cadenas de cubos módulo cubos degenerados, se recupera la homología singular. Si quieres ver el desarrollo de esta teoría, consulta el libro de Massey "Singular homology theory".

Una de las razones por las que la gente prefiere los símplices es que no hay que preocuparse por la degeneración. (También está el hecho de que los símplices son más adecuados para demostrar que existe un isomorfismo de suspensión natural).

Supongamos que no te importa modding a cabo por degeneraciones, pero que realmente le gustaría que la suspensión fácil isomorfismo espalda. ¿Por qué no trabajar con alguna clase de "objetos de sondeo" que contengan $I$ ¿es cerrado bajo producto y cono, como algún conjunto de poliedros? Se puede hacer eso (de hecho, si no recuerdo mal algunos ya lo han hecho, aunque he olvidado la referencia)... o se podría ir aún más lejos y sondear mediante mapas de variedades suaves con esquinas, lo que no sólo permite un isomorfismo de suspensión fácil, un mapa de producto fácil, etc., sino también formas fáciles de hacer "operaciones suaves" como tomar imágenes inversas, etc. Véase Lipyanskiy, Homología geométrica .