¿Los subgrupos densos adecuados de los números reales tienen índice incontable

Question

Justo lo que dice en la lata. Deja que $G$ sea un subgrupo denso de $\mathbb{R}$ ; suponer que $G \neq \mathbb{R}$ . Sé que el índice de $G$ en $\mathbb{R}$ tiene que ser infinito (ya que cualquier subgrupo de $\mathbb{C}$ de índice finito en $\mathbb{C}$ tiene que tener el índice 1 o 2); sin embargo, ¿tiene que ser incontable? Todos los ejemplos que se me ocurren (por ejemplo $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ ...) tienen un índice incontable en $\mathbb{R}$ .

Gracias.

Answer 1

No: $\mathbb{R}$ es un $\mathbb{Q}$ -espacio vectorial. Elija una base y deje caer un número finito de elementos de la base para encontrar un $\mathbb{Q}$ -subespacio $G$ de codimensión finita. Claramente, $G$ tiene índice contable en $\mathbb{R}$ y es denso.

Añadido: No se puede hacer sin alguna forma del axioma de la elección. La afirmación $\mathbb{R} \cong \mathbb{R} \oplus \mathbb{Q}$ es el formulario número 252 del libro Consecuencias del axioma de la elección de Howard y Rubin, como puede comprobar en la página de inicio del libro.

C. J. Ash explica en Una consecuencia del axioma de elección Journal of the Australian Mathematical Society (Series A), 19 (1975) 306-308, que $\mathbb{R} \cong \mathbb{R} \oplus \mathbb{Q}$ implica la existencia de conjuntos no medibles en $\mathbb{R}$ . Esto, a su vez, se sabe que no es demostrable sólo a partir de ZF.

Si quiere saber más sobre esto, puede consultar a Herrlich, El axioma de la elección , capítulo 5, especialmente las páginas siguientes al diagrama 5.10 .