Es una función definida en un punto único continua?

Question

Es una función definida en un punto único continua?

Por ejemplo, $f:\{0\}\to\{0\}$ definido por $f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{-x}$ es una suma de dos funciones continuas y por lo tanto es continua, sin embargo, para $f$ sea continua, ha de tener el límite de $\lim\limits_{x_0\to x}f(x_0)=f(x)$ pero doesnt parecen tener límite.

Answer 1

Técnicamente, sí. El dominio es un singleton, por lo que la única topología en que es el trivial, $\tau_0$. Entonces si $(Y,\tau)$ es cualquier otro espacio topológico y $*$ es el punto del espacio

$$f:(*,\tau_0)\to (Y,\tau)$$

es trivialmente continua porque si $U\in\tau$ está abierto

$$f^{-1}(U)\in\{\varnothing, *\}=\tau_0$$

dependiendo de si o no $f(*)\in U$ o no.

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Sólo para abordar GitGud de la objeción, se nota que esto está de acuerdo con la ingenua, cálculo de la noción de límite, se nos requiere que todos los $x\in \{0\}\setminus \{0\}=\varnothing$ satisfacer alguna propiedad. Por supuesto que no hay contraejemplos (el conjunto vacío!) así que es verdad, porque la definición de "verdad" es "que para el que no hay ninguna instancia que es falso." No hay falsas instancias en el conjunto null (no hay ninguna en absoluto!)

De hecho, esto se sigue de la anterior, pero para los estudiantes que pueden no estar familiarizados con la moderna definición de continuidad (que sin duda se resuelve este problema de forma mucho más directa) esta es otra manera de pensar en ella.

Y, por supuesto, incluso en el cálculo nos rutinariamente hablar de continuidad en no abrir los subconjuntos de a $\Bbb R$. La media-teorema del valor, un sello distintivo de cálculo, tiene como hipótesis "continua en el $[a,b]$." Si no estamos dispuestos a extender los únicos, esto parece más bien favoreciendo injustamente de intervalos.

Answer 2

Adán respuesta es la más eficiente manera de ver las cosas, pero aquí es otra, si le interesa.

Definir la continuidad de $\lim\limits_{x_0\to x}f(x_0)=f(x)$ . Veamos lo que dice: $$\forall\varepsilon > 0 \,\exists \delta \text{ s.t.} \forall x \in(x_0-\delta,x_0+\delta)\cap A\setminus\{x_0\}\, , \,\mid f(x_0) - f(x)\mid < \varepsilon$$

Pero, como te darás cuenta, $(x_0-\delta,x_0+\delta)\cap A\setminus\{x_0\} = \emptyset$, para cualquier $\delta$. Ahora, el siguiente es un poco de lógica engaño, pero es así: La hipótesis es falsa, por lo que la implicación de la declaración es verdadera. Cada punto en $(x_0-\delta,x_0+\delta)\cap A\setminus\{x_0\}$ cumple que $\mid f(x_0) - f(x)\mid < \varepsilon $, debido a que no existen tales puntos a tener en cuenta. Es algo que me tomó bastante tiempo para envolver mi cabeza alrededor, pero es algo que uno se acostumbra y después de probar muchos patológicamente trivial declaraciones.