Ejemplos básicos de los números ordinales

Question

Estoy leyendo un libro sobre estocástico juegos que al parecer las necesidades de los números ordinales en algún lugar. Esta es la primera vez que me encuentro con un concepto, y aunque la definición es claro para mí, la falta de práctica hace que sea más difícil pensar en ellos. Por eso necesito un poco de ayuda con ejemplos.

Como mucho lo que he entendido, los ordinales son exactamente las clases de equivalencia w.r.t. el fin de isomorfismo de conjuntos ordenados. En el artículo de Wikipedia sobre el tema no es un comentario, diciendo que formalmente tales clases son demasiado grandes para ser conjuntos en ZF sistema de axiomas, por lo que uno debe, en lugar de hablar sobre el fin de los tipos de ACEPTAR para mí, así que ahora todo es muy natural.

1. También puedo imaginar conjuntos que tienen el fin de los tipos de la escala ordinal $\xi = 5$ o $7$, o cualquier otro número natural - esto sería simplemente cualquier conjunto ordenado con $5$ o $7$ elementos, derecho? Es fácil para mí pensar de $\omega$ así: uno de los ejemplos que tiene ese tipo de orden es el conjunto de todos los números naturales.

2. Lo que es más difícil para mí, es para encontrar un ejemplo de un conjunto que tiene orden de los tipos de $\omega+1$, $2\cdot \omega$, $\omega^2$ o $\omega^\omega$. Aún más, el último, yo solía pensar que este es un desordenado conjunto de todas las secuencias infinitas de números naturales. Sin embargo, todavía se lee que $\omega^\omega$ es una contables ordinal.

Sería bueno si el ejemplo de $\omega+1$ sería algo más intuitivo que $\omega+1$ (que tal vez no es ni siquiera un set, ¿verdad?), como$\Bbb N$$\omega$.

Answer 1

Primero lo primero, vamos a responder a la simple cosa: $\omega^\omega$ puede ser utilizado para denotar tanto el ordinales y cardinales de exponenciación. El primero es, de hecho, contables, pero el segundo no lo es. Sí, es bastante confuso.

Ahora, si usted quiere entender contables ordinal ligeramente mejor, se puede pensar en ellos en términos de secuencias de números racionales.

Por ejemplo, $\omega+1$ es el tipo de orden de $\{\frac{n}{n-1}\mid n\in\Bbb N\}\cup\{1\}$. O en términos de reordenamiento de $\Bbb N$ sí, establezca $0$ a ser más grande que todos los otros números. En ese caso $\omega^2$ sería el lexicográfica del orden de $\Bbb N^2$, e $\omega^4+\omega$ sería el lexicográfica del orden de $\Bbb N^4$, seguido por una copia de$\Bbb N$, que es más grande que todos ellos.

Me gusta pensar acerca de los números ordinales como la línea para el baño, esto significa que $\omega$-ésimo lugar es el menos en un lugar que tiene infinitamente muchas personas antes de ese tipo en línea, pero todos aquellos que tienen sólo un número finito de personas delante de ellos. El pobre hombre se va a explotar antes de que él se ve un aseo.