Observando el discriminante del polinomio es muy útil para encontrar su grupo de Galois. Es sabido que si $D$ es discriminante del polinomio $f(x)$, entonces el grupo de Galois $G=G_{f}$ $f(x)$ está contenido en $A_{5}$ fib $D\in \mathbb{Q}^{2}$. (Esto es para el general campos con $char\neq 2$, no sólo a $\mathbb{Q}$. La prueba no es difícil y usted puede encontrar a prueba en "Álgebra Abstracta", Cap 14, la Proposición 33 de Dummit-Foote.) Como Wolfram dice, su discriminante es 30450000 que no es un cuadrado. Por lo $G$ no está contenido en $A_{5}$.
También, por el criterio de Eisenstein con $p=5$, $f(x)$ es irreductible e $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=5$ cualquier $f(\alpha)=0$. Así que el fin de la $|G|$ tiene que ser dividido por $5$.
Entonces, si usted ve aquí, el único de los candidatos se $S_{5}$ y general Afín grupo $GA(1,5)$. Si queremos reducir el polinomio modulo $3$,$\overline{f}(x)=x^{5}+x+1=(x-1)^{2}(x^{3}-x^{2}+1)$$\mathbb{F}_{3}[x]$. Desde $x^{3}-x^{2}+1$ es irreducible sobre$\mathbb{F}_{3}$, $G_{\overline{f}}$ tiene que ser dividido por $3$. Desde $G_{\overline{f}}\leq G_{f}$ (esto no es trivial resultado, y ver aquí para la Tate prueba), $|G_{f}|$ se divide también por $3$ y contiene un $3$-ciclo. Podemos mostrar que $5$-ciclo y $3$-ciclo de trabajo en $S_{5}$ genera $A_{5}$, así que la respuesta es $G_{f}=S_{5}$.
Creo que va a ser posible encontrar un primer $p$ s.t. $\overline{f}(x)\in\mathbb{F}_{p}[x]$ tiene un factor irreducible de grado $2$, y, a continuación, usted no tiene que calcular el discriminante de $f$.
