Mantenemos la estructura geométrica en embaldosados, principalmente, porque la apuntados se generan con esa estructura, a menudo de celosías o geométrica grupo de acciones.
Es bastante trivial que si usted toma algunos tipos de niza apuntados, y olvidarse de la estructura geométrica, entonces también puede recuperar información importante sobre el suelo de baldosas de la gráfica solo. Usted puede recuperar si el mosaico es periódica mirando el grupo de simetrías de la gráfica. Usted también puede recuperar información sobre el espacio, no sólo de la colocación de las baldosas. Usted puede recuperar si el mosaico es de la distancia Euclídea o plano hiperbólico mirando la tasa de crecimiento del perímetro de una pelota. Usted puede recuperar si el mosaico fue en un topológico cilindro vs el avión, como todavía se puede definir el "fin" de un gráfico y ver que un suelo de baldosas del cilindro se tienen dos maneras de ir hasta el infinito, en lugar de 1 en el plano.
Este es un comienzo de lo que es knwon como geométricas teoría de grupos. Dado un grupo y algunas conjunto finito de generadores para ese grupo, usted puede construir una Cayley cuyos vértices son los elementos de ese grupo, cuyos bordes conectar un elemento $g$ $gg_i$ $gg_i^{-1}$ para cada generador $g_i$. A continuación, puede intentar recuperar la información sobre el grupo de las propiedades geométricas de la gráfica.
Hay una natural métrica $d$ sobre el grafo de Cayley, por lo que cada arista tiene una longitud de 1. Desde un punto de vista, es malo que estamos recibiendo diferentes gráficos a partir de diferentes conjuntos de generadores. Para identificar a estos como esencialmente la misma, consideramos que la cuasi-isometrías, mapas de $f$ a partir de un espacio a otro de tal manera que no son constantes $C_0$$C_1$, de modo que para cada $x,y$, $\frac1{C_1} d(x,y) - C_0 \le d(f(x),f(y)) \le C_1 d(x,y) + C_0$. El cambio de un conjunto de generadores a otro, es un cuasi-isometría, ya que podemos expresar cada generador finito de palabras en el otro conjunto de generadores. Por lo tanto, muchas personas estudian finitely generado grupos de hasta cuasi-isometría.
Opciones para los conjuntos de relaciones que puedan corresponder a los apuntados. Puede adjuntar una 2-celda a la gráfica a lo largo de la palabra de una relación. Topológicas y geométricas de las propiedades de este complejo tienen significado en la teoría de grupos.
De todos modos, volver a embaldosados del plano. Hay más razones para mantener la geometría. Este recoge a un par de gráficos entre los muchos que se incruste en el avión. También podemos maneras convenientes para comparar apuntados. Por ejemplo, podemos buscar en los vértices de un segundo de baldosas que se encuentran cerca de un vértice en el primer mosaico. Nos es más fácil considerar la totalidad de las familias de los apuntados para tratar de clasificar a todos los embaldosados de un tipo.
Para los mosaicos de Penrose en particular, me gustaría ignorar la agradable ascensor desde la teoría de los números de un mosaico a un mapa desde el avión a $\mathbb R^4$. Si usted se considera un suelo de baldosas por rombos, de modo que cada arista es $\pm \zeta_5^i$ donde $\zeta_5$ es un 5º de la raíz de la unidad, a continuación, verá que usted puede dar a cada vértice un 5-dimensional conjunto de coordenadas como un entero combinación lineal de las 5 de raíces de la unidad. Por supuesto, ya que la suma de las 5 de raíces de la unidad y de 1 es 0, se puede caer en la dimensión 4 considerando las sumas de quintas partes de los enteros que se suman a 0. Hay bonitas maneras de generar mosaicos de Penrose por los planos de 2 dimensiones en que el 4-espacio tridimensional. No sé la clasificación de los mosaicos de Penrose, pero apuesto a que tiene algo que ver con que se levante, que no es obvio a partir de la gráfica.
