Una definición adecuada de $i$ la unidad imaginaria

Question

Cuando estaba en la escuela secundaria, que fue hace mucho tiempo, recuerdo que mi profesor de matemáticas me dijo que la definición de $i$ la unidad imaginaria, es $\sqrt{-1}$ . Sin saber mucho, en ese momento, lo acepté sin pensarlo dos veces.

Varios años después, cuando estaba en mi clase de Análisis Complejo, uno de mis compañeros preguntó por la distinción entre definir $i$ en la forma normal, es decir, $i=\sqrt{-1}$ y de forma más ambigua, $i^2=-1$ .

Ahora que pienso profundamente en ello, tengo algunas sospechas sobre lo que me enseñó mi profesor de instituto en su momento.

En primer lugar, al menos en el nivel de bachillerato, se define normalmente una raíz cuadrada de $x$ , $\sqrt{x}$ como el positivo cantidad de cualquiera de los números que satisface la propiedad $\sqrt{x}\sqrt{x}=x$ . Evidentemente, cuando $x<0$ Esta noción de signo no tiene sentido, por lo que no se puede hablar honestamente de $\sqrt{-1}$ con la definición ingenua de la raíz cuadrada.

Bien, somos mejores que eso, y podemos decir que $i$ es el principal raíz de la ecuación $x^2=-1$ . Entonces lo denotamos simplemente por $\sqrt{-1}$ . Pero esta forma de denotar $i$ trae consigo una letanía de catástrofes, entre ellas la famosa $1=-1$ falacia.

En concreto, se puede demostrar que $1=-1$ por $1=\sqrt{1}=\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=i^2=-1$ .

Muchas personas han señalado lo azaroso de suponer que la conocida ley $\sqrt{x}\sqrt{y}=\sqrt{xy}$ se mantiene cuando $x,y<0$ . Pero al mismo tiempo no tenemos vergüenza de escribir $\sqrt{-5}$ como $\sqrt{5}i$ (de hecho, creo que esta es la razón de inventar el imaginario unidad ). ¿No es terriblemente antinatural que la ley se mantenga para el número impar de factores negativos, y no así para los pares? De hecho, ¿hay algún ejemplo en el que esta regla nativa (que cuando se tiene un radicando negativo, se pueden aplicar más o menos las conocidas leyes de los exponentes)? (Supongo que hace la primera pregunta).

En segundo lugar (así que esto marca oficialmente la segunda, y la última pregunta), que debe para ser la definición de $i$ ¿en su opinión? Creo que mucha gente opta por escribir $i=\sqrt{-1}$ ya que da cierta ilusión de determinación, mientras que $i^2=-1$ no lo hace. Pero sigo prefiriendo esta última definición, y parece ser el consenso de todos los libros de texto de análisis complejo que he tenido en mis manos.

Mejor aún, creo que los números complejos deberían definirse como la terminación algebraica de los reales o un campo isomorfo a $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ , con algunas reglas especiales de adición y multiplicación, pero supongo que está un poco fuera de la liga de los estudiantes de secundaria (al menos para la mayoría de ellos).

EDIT: Gracias a todos por vuestras perspicaces respuestas, pero todavía hay una cosa que ninguno de vosotros ha contestado todavía... ¿Existe un ejemplo más confortable para el ley donde tenemos $\sqrt{-A}$ para $A>0$ tenemos $\sqrt{A}i$ ?

Answer 1

La forma matemáticamente correcta es llamar a $i$ una raíz de $x^{2}+1$ o, lo que es lo mismo, llamar a un símbolo que satisface $i^{2} = -1$ . No hay determinación, ni tiene por qué haberla, porque $i$ y $-i$ son indistinguibles algebraicamente (ambos son raíces conjugadas del mismo polinomio irreducible en $\mathbb{R}[x]$ ). No existe una raíz "principal" de $x^{2}+1$ .

Hay que tener cuidado cuando se considera $\sqrt{xy}$ obviamente; sólo se afirma que es igual a $\sqrt{x}\sqrt{y}$ cuando $x$ y $y$ tienen raíces cuadradas reales.

Por último, los números complejos: claro, terminación algebraica de los reales. Una definición perfecta. Un campo isomorfo a $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ : no tiene sentido, esto no es un campo sin añadir reglas de multiplicación, y añadirlas no está realmente motivado a menos que YA tengas $\mathbb{C}$ en mente, lo que lo hace bastante circular.

Answer 2

Esta es una definición de número complejo que puede resolver muchos de los problemas que has mencionado:

Un número complejo es un par ordenado de dos números reales: $(a,b),\,\, a,b\in \mathbb R$ con las siguientes definiciones de las operaciones aritméticas:

Los números complejos se pueden sumar: $(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)$ .
Se pueden multiplicar por un número real: $c(a,b)=(ca,cb)\,\,c\in\mathbb R$ .
También se pueden multiplicar: $(a,b) \cdot (c,d) = (ac-bd,ad+bc)$ .

Entonces dejemos que el número (1,0) sea denotado por 1 y el número (0,1) sea denotado por $i$ . 1

De la definición de multiplicación se deduce que $i\cdot i=(-1,0)=-1$ .

Con esta definición, no es necesario $i$ ser "imaginario" y también está totalmente determinado que sólo (0,1) es $i$ y no (0,-1) por lo que se elimina la ambigüedad de $i=\sqrt{-1}$ .

1 Nota: Utilizando esto, tenemos $(a,b) = a(1,0) + b(0,1) = a \times 1 + b \times i$ que puede escribirse como $a+bi$ .

Answer 3

Para responder a tu última pregunta, la extensión natural de la función raíz cuadrada a los números complejos se hace escribiéndola en forma polar, $z=re^{i\theta}$ con $\theta \in [0,2\pi)$ , $\sqrt z=\sqrt re^{i \theta/ 2}$ . Entonces, si tienes un número real positivo $A$ , $-A=Ae^{i\pi}$ Así que $\sqrt {-A}=\sqrt Ae^{i \pi /2}=\sqrt Ai$ Así que no, esto nunca es un problema con los números positivos.

Esto muestra, naturalmente, dónde está el problema de separar dos raíces cuadradas en los números complejos: Para tener $\sqrt {z_1z_2}=\sqrt {z_1} \sqrt {z_2}$ necesitamos $Arg(z_1)+Arg(z_2)<2 \pi$ porque, de lo contrario, tenemos un problema con el cambio de los argumentos principales. (Eso es un si y solo un si, por cierto)

Answer 4

El conjunto de los números complejos es R² (producto cartesiano del conjunto de los números reales), una vez definidas las operaciones específicas:

(x, y)+(x', y') = (x+x', y+y')
(x, y)*(x', y') = (xx'-yy', xy'+yx')

i es sólo una notación muy útil para el número complejo (0,1). Y se puede comprobar que i² = (0,1)*(0,1) = (-1, 0) = -1 + 0*i = -1

Los números complejos se introdujeron para resolver ecuaciones de segundo grado en casos concretos, del mismo modo que se definiría el conjunto de números reales (o al menos racionales) para resolver ecuaciones como x = 3^(-1) cuando sólo se conocen números enteros.

Obviamente, sqrt(-1) no está definido, ya que la función sqrt sólo está definida para números positivos (incluido el 0). Así que, para responder a la edición, sqrt(-A) donde A > 0 no está definida. Cuando tienes x² = -A no resuelves la ecuación con sqrt(-A) = i * sqrt(A). Buscas números tales que x² = -A y i * sqrt(A) es uno de ellos (-i * sqrt(A) es el otro).

Answer 5

Definimos $\Bbb C$ para ser $\Bbb R \times \Bbb R$ con la multiplicación habitual que lo convierte en un campo. Parece que estás familiarizado con esto.

Una vez que tenemos esto, simplemente definimos $i$ para ser una de las raíces de la ecuación $x^2 + 1 = 0$ en $\Bbb C$ . No existe una forma algebraicamente independiente de elegir una "raíz principal" de esta ecuación, porque efectivamente, existe un automorfismo de campo de $\Bbb C$ se caracteriza por $i \mapsto -i$ . Así, podemos elegir $i$ para ser cualquiera de las raíces de la ecuación sin cambiar nada de lo que realmente importa.