Derivado de la suma de poderes

Question

Fijo $n \geq 1$$p \in [0,1]$, hay una bonita expresión para la derivada de

$\sum_{k=0}^n p^k (1-p)^{n-k}$

con respecto a la p?

Answer 1

Yo creo que se puede usar el hecho de que $\displaystyle \dfrac{\text{d}}{\text{d}p} \sum \left( \dots \right) = \sum \dfrac{\text{d}}{\text{d}p} \left( \dots \right) $. $$ \begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}p} \sum_{k=0}^{n} p^k (1-p)^{n-k} & = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{\text{d}}{\text{d}p} \left( p^k (1-p)^{n-k} \right) \\ & = \sum_{k=0}^{n} \left( kp^{k-1}(1-p)^{n-k} - (n-k)p^k (1-p)^{n-k-1} \right) \\ & = \sum_{k=0}^{n} p^{k-1} (1-p)^{n-k-1} \left( k(1-p) - (n-k)p \right) \\ & = \sum_{k=0}^{n} p^{k-1} (1-p)^{n-k-1} \left( k - np \right) \end{aligned} $$

Puede ser útil saber que si se tratara de $\binom{n}{k}$ multiplicado el sumando, sería, de hecho, ha $(p+(1-p))^n$ escrita como una suma.

Answer 2

Para completar mi comentario: la suma de aquí puede ser evaluado de forma explícita el uso de un (parcial) geométrica de la suma y el resultado término puede ser diferenciado de forma explícita. Más específicamente, tenemos: $$\begin{align} \sum_{k=0}^np^k(1-p)^{n-k} &=\sum_{k=0}^np^k(1-p)^n(1-p)^{-k}\\ &=(1-p)^n\sum_{k=0}^np^k(1-p)^{-k}\\ &= (1-p)^n\sum_{k=0}^n\left(\frac{p}{1-p}\right)^k\\ &= (1-p)^n\frac{1-r^{n+1}}{1-r} &\ (r=\frac{p}{1-p})\\ &=\frac{(1-p)^{n+1}-p^{n+1}}{(1-p)-p} \end{align} $$ y esta forma es sencillo diferenciar en términos de $p$.