Es la Reflexividad Necesario para el Débil y Débil* Topologías para Coincidir?

Question

Deje $X$ ser una normativa espacio vectorial, no necesariamente de Banach. Supongamos que $X$ no es reflexiva, lo que implica la existencia de tales $\varphi\in X^{**}$ ($X^{**}$ siendo el doble doble de la de $X$) de los que, por cualquier $x\in X$ existe alguna $f_x\in X^*$ ($X^*$ siendo el doble de $X$) tal que $\varphi(f_x)\neq f_x(x)$. Mi pregunta es: en este caso, es el débil* topología en $X^*$ necesariamente estrictamente más débil de los débiles topología en $X^*$?

Otro hilo de respuestas a esta pregunta afirmativamente para espacios de Banach. Es decir, si $X$ es de Banach y el débil y débil* topologías en $X^*$ coinciden, a continuación, $X$ debe ser reflexivo; o, de manera equivalente, si $X$ es de Banach, pero no reflexiva, entonces el débil* topología en $X^*$ debe ser estrictamente más débil de los débiles topología en $X^*$. La prueba se basa en el hecho de que si $X$ es de Banach y $X^*$ reflexiva y, a continuación, $X$ es reflexiva. Sin embargo, este último resultado puede ser demostrado a fallar si $X$ no es de Banach.

Mi estrategia fue tomar la $\varphi\in X^{**}$ especificadas anteriormente y tratar de construir un conjunto abierto basado en la topología débil en $X^*$ que no está abierto en la débil* topología, pero estoy atascado con este enfoque.

Todas las ideas o sugerencias sería apreciada.

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ACTUALIZACIÓN: ya lo he conseguido. La afirmación es verdadera incluso sin asumir que $X$ es de Banach. Es decir, si el débil y débil* topologías en $X^*$ coinciden, a continuación, $X$ es necesariamente reflexivo (y, por consiguiente, también de Banach, pero el punto de mi pregunta no fue asumiendo la integridad de las pruebas de la reflexividad). La prueba es conceptualmente limpio pero el riguroso detalles son sorprendentemente abstruso, así que no voy a repetirlo aquí. La idea se basa en el lema 4, y la proposición 5 de estas notas, en caso de que alguien más está interesado. (Descargo de responsabilidad: yo, personalmente, no me gusta la manera en la inducción de paso se llevó a cabo en el lema 4, así que he usado el de Hahn–Banach teorema lugar para generar la deseada combinación lineal).

Gracias chicos por ver esta pregunta y upvoting. :-)

Answer 1

La única lineal continua y funcionales en $X^*$ equipado con los débiles, con topología en estrella son la evaluación funcionales $$X^*\to\Bbbk,~\phi\mapsto \phi(x)$$ donde $x\in X$ $\Bbbk$ es el campo de tierra ($\Bbb R$ o $\Bbb C$.) De hecho, si $Y$ es un espacio lineal, $\mathcal{L}$ es una colección de funcionales lineales en $Y$, e $Y_{\mathcal L}$ es el más áspero de la topología en $Y$ que hace que todos los funcionales lineales en $\mathcal L$ continuo,$(Y_{\mathcal L})^*=\mathrm{Vect}(\mathcal{L})$.

Así que si $X$ no es reflexiva, el espacio de Banach $(X^*,|\cdot|)$ tiene más lineal continua y funcionales, y por lo tanto tiene más abierto subconjuntos.