¿Existe un método elemental para evaluar $\displaystyle \int_0^\infty \frac{dx}{x^s (x+1)}$ ?

Question

Encontré una forma de evaluar $\displaystyle \int_0^\infty \frac{dx}{x^s (x+1)}$ utilizando la suposición de que $s\in\mathbb{R}$ y $0<s<1$ .

Aparentemente debería extenderse fácilmente a todos los $s\in\mathbb{C}$ con $0<Re(s)<1$ .

He publicado mi solución aquí: http://thetactician.net/Math/Analysis/Integral1.pdf

Estoy bastante seguro de que hay un método más conciso para evaluarlo... y también me gustaría hacer la extensión a $\mathbb{C}$ más riguroso.

¿Alguna idea?

Answer 1

No es elemental (en el sentido de no utilizar análisis complejos), pero así es como yo lo haría:

Dejemos que $$f(z) = \frac{1}{z^s(z+1)},$$ donde $z^s$ denota la "rama natural", es decir, elegir $\phi \arg z \in (0,2\pi)$ y poner $(re^{i\phi})^s = r^s e^{is\phi}$ . Toma un "contorno de ojo de cerradura" C:

e integrar $f$ a lo largo de $C$ utilizando el teorema del residuo:

$$\int_C f(z)\,dz = 2\pi i \operatorname{Res}_{z=-1} f(z).$$

Estimación de $\int_\gamma f(z)\,dz$ y $\int_\Gamma f(z)\,dz$ tenemos

$$\left| \int_\gamma f(z)\,dz \right| \le \frac{M}{r^{\mathrm{Re}(s)}} \cdot 2\pi r \to 0 \qquad\text{as }r\to0$$ y $$\left| \int_\Gamma f(z)\,dz \right| \le \frac{M}{R^{1+\mathrm{Re}(s)}} \cdot 2\pi R \to 0 \qquad\text{as }R\to\infty.$$

(Para la primera estimación, queremos $\mathrm{Re}(s) < 1$ y para el segundo $\mathrm{Re}(s) > 0$ .

Para los dos segmentos de línea restantes, en el segmento "superior" obtenemos la integral que buscamos como $r \to 0$ y $R\to\infty$ . En el segmento "inferior", obtenemos (recuerde la elección de la rama) $$-\int_0^\infty \frac{1}{x^s e^{2\pi i s} (1+x)}\,dx.$$

Ponerlo todo junto: $$(1-e^{-2\pi i s}) \int_0^\infty \frac{1}{x^s(1+x)}\,dx = 2\pi i \operatorname{Res}_{z=-1} f(z) = 2\pi i (-1)^{-s} = 2\pi i e^{-\pi i s}$$ así que $$ \int_0^\infty \frac{1}{x^s(1+x)}\,dx = 2\pi i \frac{e^{-\pi i s}}{1-e^{-2\pi i s}} = \frac{\pi}{\sin s\pi}.$$

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Answer 2

En primer lugar, dejemos que $x=\frac{1}{t}$ . Entonces nuestra integral es $$\int_{0}^\infty \frac{t^{s-1}}{t+1}dt$$ que es la transformada de Mellin de la función $\frac{1}{1+t}$ . En este respuesta de intercambio de pilas de matemáticas se demuestra que $$\mathcal{M}\left(\frac{1}{1+x^{b}}\right)(s)=\int_0^\infty \frac{t^{s-1}}{1+t^b}dt =\frac{\pi}{b}\csc\left(\frac{\pi s}{b}\right).$$

Esta solución utiliza la función Beta, y una identidad que la relaciona con la función Gamma que puedes considerar o no elemental. (Hay pruebas de esta identidad que no utilizan el análisis complejo)

En cada uno de los siguientes hilos, hay respuestas que son de interés:

¿Una forma más sencilla de calcular una integral definida sin recurrir a las fracciones parciales?

$\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{1+x^n}$

Forma cerrada para $\int_0^\infty {\frac{{{x^n}}}{{1 + {x^m}}}dx }$