Si las distribuciones con el mismo momentos son idénticos

Question

Siguientes son similares pero diferentes de los posts anteriores aquí y aquí

1. Dadas dos distribuciones que admitir momentos de todos los órdenes, si en todos los momentos de dos distribuciones son iguales, entonces son distribuciones idénticas a.e.?
2. Dadas dos distribuciones que admitir momento funciones de generación, si tienen los mismos momentos, son el momento en que la generación de funciones de la misma?

Gracias!

Answer 1

Permítanme responder en orden inverso:

2. Sí. Si su MGFs existen, no voy a ser el mismo*.

ver aquí y aquí por ejemplo

De hecho, se desprende el resultado que dan en el post este proviene; si la MGF única** determina la distribución, y dos de las distribuciones tienen MGFs y tienen la misma distribución, deben tener el mismo MGF (de lo contrario se tendría un contraejemplo a 'MGFs únicamente determinan las distribuciones').

* para ciertos valores de la 'misma', debido a que la frase "casi en todas partes"

** 'casi todo'

1. No ya que existen contraejemplos.

Kendall y Stuart lista de una distribución continua de la familia (posiblemente originalmente debido a Stieltjes o alguien de la cosecha, pero mi recuerdo es que claro, ha sido un par de décadas) que tienen idéntico momento secuencias y, sin embargo, son diferentes.

El libro de Romano y Siegel (Contraejemplos en Probabilidad y Estadística) listas de contraejemplos en la sección 3.14 y 3.15 (páginas 48-49). (En realidad, buscando en ellos, creo que dos de ellos eran de Kendall y Stuart.)

Romano, J. P. y Siegel, A. F. (1986),
Contraejemplos en Probabilidad y Estadística.
Boca Raton: Chapman and Hall/CRC.

Para 3.15 se crediticio Feller, 1971, p227

El segundo ejemplo es el de la familia de densidades

$$f(x;\alpha) = \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})[1-\alpha \sin(x^{1/4})], \quad x>0;\,0<\alpha<1$$

Las densidades diferentes como $\alpha$ cambios, pero en el momento en secuencias son las mismas.

Que en el momento en secuencias son las mismas implica la división de $f$ a las partes

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) -\alpha \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})\sin(x^{1/4})$

y, a continuación, mostrando que la segunda parte contribuye 0 a cada momento, por lo que son todos de la misma como los momentos de la primera parte.

He aquí lo que dos de las densidades de aspecto. El azul es el caso en la parte izquierda del límite ($\alpha=0$), el verde es el caso de la $\alpha=0.5$. El lado derecho de la gráfica es la misma pero con log-log de las escalas en los ejes.

Mejor aún, tal vez, haber tomado un mucho mayor rango y se utiliza un cuarto de la raíz de la escala en el eje x, haciendo que la curva azul en línea recta, y la verde, que se mueven como un pecado de la curva por encima y por debajo de ella, algo así:

Los wiggles arriba y debajo de la curva azul - ya sea de mayor o menor magnitud - a dejar todo entero positivo momentos inalterada.

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Tenga en cuenta que esto también significa que puede obtener una distribución en la que todos los momentos impares son cero, pero que es asimétrica, por la elección de $X_1,X_2$ con diferentes $\alpha$ y tomando una mezcla 50-50 de $X_1$, e $-X_2$. El resultado debe tener todos los momentos impares de cancelar, pero las dos mitades no son los mismos.