Es la longitud adimensional cuando el espacio no es plano?

Question

Considere los dos colectores $\mathbb{R}^2$, equipado con la métrica usual $g_{ij}=\delta_{ij}$, e $\mathbb{H}^2=\{(x, y)\,:\,y>0\}$, equipado con la métrica hiperbólica $h_{ij}=\delta_{ij}/y^2$. Supongamos que las coordenadas $x, y$ tienen la dimensión de longitud. A continuación, en la distancia Euclídea caso de que la longitud de una curva que tiene la dimensión de longitud (obviamente): $$ ds=\sqrt{dx^2+dy^2}.$$ ¿Qué acerca de la hiperbólico caso? Aquí me parece que la longitud de una curva es adimensional: $$ds =\frac{\sqrt{dx^2+dy^2}}{y}.$$

Preguntas. Estoy en lo cierto? ¿Todo esto tiene un significado físico de algún tipo, o es sólo que no estoy considerando algunos dimensionado constante que se ha establecido la igualdad de a $1$?

Answer 1

Supongamos que las coordenadas $x,y$ tienen la dimensión de longitud

La correcta interpretación de la situación es que la hipótesis anterior es falso.

No hay ninguna razón por la que coordinar las funciones de una de Riemann colector debe tener la dimensión de longitud. Un ejemplo sencillo es el radial y el sistema de coordenadas $(r,\theta)$$\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$. La variable angular $\theta$ es generalmente medido en radianes, que como una unidad está dada por la longitud / talla, y en realidad no tiene dimensiones.

Answer 2

La diferencia relevante entre la distancia Euclídea y hiperbólico situaciones es que hiperbólico espacios vienen con una unidad natural de longitud, debido a que tienen (constante) de la curvatura. Uno tiene la ventaja de que por la normalización de la unidad de longitud, de forma que la curvatura es $-1$. Que la normalización ya estaba incorporada en la fórmula citada por la métrica, y que hace que la métrica adimensional.

Answer 3

Yo creo que (al menos en la física) mantener un registro de las unidades es de gran alcance. En matemáticas se puede evitar errores mediante la asignación de las unidades a las cantidades (por ejemplo, geometría de Riemann, ecuaciones diferenciales), aunque son abstractos y originalmente adimensional. Esto es sólo un prejudgement, pero funciona para algunas personas.

De todos modos, ¿cuál es el significado de una cantidad con unidades en matemáticas? Difícilmente uno se puede dar una respuesta withoug la evocación de la física. Por lo tanto, en lugar de utilizar un reductio ad absurdum a la conclusión de que las coordenadas no tienen la dimensión de longitud, creo que las unidades que se utilizan para escribir la métrica son "unidades naturales" (en el sentido de la física, por ejemplo,$\hbar=1=c$) debido a los siguientes hechos:

En la física, la canónica coordenadas de $\mathbb{R}^m$ tiene unidades de longitud.

Si usted desea realizar un seguimiento de las unidades de la medición debería ser $h_{ij}=\kappa \delta_{ij}/y^2$, como por ejemplo escribe métricas si uno no trabajo en unidades naturales:

$$ds^2=c^2 {d \tau}^{2} = \left(1 - \frac{r_S}{r} \right) c^2 dt^2 - \left(1-\frac{r_S}{r}\right)^{-1} dr^2 - r^2 \left(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\varphi^2\right)$$ (la métrica de Schwarzschild). Un segundo ejemplo de por qué no es conveniente olvidar que las coordenadas de las unidades es cuando uno escribe una acción funcional como $\int_M L\,d(vol) $. Aquí $d(vol)$ tiene dimensión (longitud de$)^n$ $L$ debe tener dimensión $(length)^{-n}$. Cómo sería de descartar tantas posibles acciones si no por análisis dimensional y que requieren que (algunas de) las coordenadas de las unidades? Mi punto es que, aunque no se puede asignar la longitud de todas las coordenadas, una vez que uno siempre se puede imponer ese $ds^2$ tiene plaza de unidades de longitud: debido a la forma en $g_{ij}(x)$ transforma, cualquier cambio de coordenadas que le dará el derecho de los factores.

Para direccionar la pregunta del título, alisado, no tiene que ver con tener dimensiones métricas. Por ejemplo, $(x^2+y^2)(dy^2+dx^2)$ es una métrica que no es plana, y, si asigna a las unidades de longitud a estas coordenadas, la métrica no ser adimensional.