Acerca de la determinación del complejo logaritmo

Question

Aunque debe ser una pregunta tonta, estoy realmente confundido.

Para el logaritmo complejo, en general, $$\log(z_1z_2)\neq\log(z_1)+\log(z_2)$$, incluso si el logaritmo ya está determinado. Creo que esto es cierto, ¿verdad?

Sin embargo, en algunas pruebas de complejo análisis, se utiliza el logaritmo a dejar que un producto (incluso infinito producto) ser una adición sin considerar ningún determinación de logaritmo. Es eso correcto?

Por ejemplo:

Sabemos que $$\prod_{p}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)^{-1}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}=\zeta(s)$$ tiene por $Re s>1$. En algunos libros, el autor afirma que por $$\log\zeta(s)=-\sum_p\log\left(1-\frac{1}{p^s}\right)$$

Es eso correcto?

A veces, creo complejo logaritmo es muy "molesto", porque siempre me tiene que preocuparse acerca de la determinación de la misma. ¿Tengo que preocuparme por eso?

Muchas gracias!

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que $\log(xy) = \log(x) + \log(y)$ es cierto para el multivalor $\log$ función, en el sentido de que ambos lados tienen el mismo conjunto de valores.

Si quieres igualdad de una determinada rama del logaritmo, se requiere de más atención. En la situación que usted describe es bastante simple, aunque: voy a dejar de trabajar fuera de la

Teorema: Si $\text{Re}(z) > 0$$\text{Re}(w) \geq 0$,$\text{Log}(zw) = \text{Log}(z) + \text{Log}(w)$.

donde $\text{Log}$ es la rama principal.

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En general, tiene en cuenta la rama de corte de alguna manera. Es una manera de hacer el cálculo con el multi-valores de logaritmo, y al final de averiguar qué rama el resultado se supone debe ser.

Usando tu ejemplo de nuevo, la diferencia entre el lado izquierdo y derecho es un múltiplo entero de $2 \pi \mathbf{i}$.

Si $s$ es real, entonces ambos lados son reales, así que usted sabe exactamente qué múltiplo entero de uso (es decir, cero).

Entonces, como $s$ varía de forma continua en el conjunto $\text{Re}(s) > 1$, se puede comprobar que ninguno de los valores en el lado derecho de paso a través de la rama cortada.

Si usted puede comprobar el lado izquierdo también no pasa a través de la rama de corte, entonces ambos lados son iguales para todas las $s$ en ese dominio. Por otro lado, si $\zeta(s)$ hace pasar a través de la negativa del eje real, entonces usted tiene que cuadramos una copia de $2 \pi \mathbf{i}$ en el lado izquierdo, dependiendo de la forma en que se pasa a través de la corte.

(No sé lo suficiente acerca de la $\zeta$ saber que pasa)

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Para un simple ejemplo, considere la función $f(z) = \text{Log}(z^2) - 2 \text{Log}(z)$ definido por la no-cero $z$. Claramente $f(1) = 0$. Los cortes de ramas de esta función son la totalidad del eje imaginario y el eje real negativo.

Así, en todas partes, en la mitad derecha del plano, tenemos $f(z) = 0$. Mover z a través del primer cuadrante en el segundo, se pasa el eje imaginario positivo. $z^2$ pasa a través de la rama de corte de $\text{Log}$ desde la parte superior a la inferior, y por lo $\text{Log}(z^2)$ disminuye por $2 \pi \mathbf{i}$. Por lo tanto $f(z) = -2 \pi \mathbf{i}$ en todas partes en el segundo cuadrante.

Moviéndose entre el segundo y el tercer cuadrante, $z$ pasa a través de la rama de corte de $\text{Log}$, y por lo $f(z)$ disminuye por $(-2) \cdot (2 \pi \mathbf{i})$, lo $f(z) = 2 \pi \mathbf{i}$ en el tercer cuadrante.

Finalmente, moviéndose entre el tercer y cuarto cuadrante, $f(z)$ disminuye por $2 \pi \mathbf{i}$ nuevo, volviendo así su valor en $0$.

Answer 2

Tanto como las funciones trigonométricas inversas, logaritmos puede tomar un conjunto infinito de valores:

$$\log{z} = \log{|z|} + i (\theta + 2 \pi k) $$

donde$k \in \mathbb{Z}$$\theta = \arg{z}$. En este sentido, tiene razón. Sin embargo, si definimos una rama principal de $\log{z}$ tal que

$$\arg{z} = \mathrm{Tan}^{-1}{\frac{\Im{z}}{\Re{z}}}$$

donde $\mathrm{Tan}^{-1}$ se refiere a la rama principal de la $\tan^{-1}$ función, con un rango de $[-\pi,\pi)$, entonces podemos definir un único valor del logaritmo de un número complejo. Algunos utilizan la notación $\mathrm{Log{(z)}}$ para denominar el principal valor que $\Im{\mathrm{Log{(z)}}}$ toma un valor único. En este sentido, a continuación, $\mathrm{Log{(z_1 z_2)}} = \mathrm{Log{(z_1)}} + \mathrm{Log{(z_2)}}$.