Método directo
Poniendo $y_n=(n+1)!2^{1-n}x_n$ la relación de recurrencia $$ y_{n+1}−\frac{n+2}{2}y_n=(n+1)(n+2)3^n\tag 1 $$ con la condición inicial $y_0=0$ para todos $n\ge 0$ se convierte en $$ x_{n+1}=x_n+\frac{6^n}{n!}. \tag 2 $$ con la condición inicial $x_0=\frac{y_0}{2}=0$ . Se trata de una relación de recurrencia no homogénea con un término no homogéneo $\xi_n=\frac{6^n}{n!}$ que se puede resolver directamente de forma muy sencilla.
Sabemos que la solución general de una relación de recurrencia no homogénea es la suma de la solución general de la recurrencia homogénea asociada y cualquier solución particular de la recurrencia no homogénea. Por tanto, si $a_n$ es una solución de la recurrencia homogénea asociada $x_{n+1}-x_n=0$ y $b_n$ es una solución particular de la recurrencia no homogénea $x_{n+1}-x_n=\xi_n$ entonces $a_n+b_n$ es la solución general de la recurrencia no homogénea.
La solución general $a_n$ de la relación de recurrencia homogénea asociada $x_{n+1}-x_n=0$ es trivial, es decir $a_n=0$ para todos $n\ge0$ . De hecho, la ecuación característica es $\lambda-1=0$ para que $a_n=\alpha^1$ y a partir de la condición inicial $x_0=0$ tenemos $\alpha=0$ es decir $a_n=0$ .
Ahora tenemos que encontrar una solución particular $x_n=b_n$ de la relación (2). Observando que el término $\xi_n=\frac{6^n}{n!}$ es el $n$ -término de la serie exponencial, y que la diferencia entre el $n+1$ -décima legislatura $b_{n+1}$ y el $n$ -décima legislatura $b_n$ debe ser el $n$ -término de la serie exponencial, podemos tomar una solución particular como una serie exponencial truncada $$ b_n=\sum_{n=0}^{n-1}\frac{6^k}{k!}. $$ Es evidente que $b_n$ satisface la relación(2): $$ \begin{align} b_{n+1}-b_n&=\sum_{k=0}^{n}\frac{6^k}{k!}-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{6^k}{k!}\\ &=\left(1+\tfrac{6^1}{1!}+\cdots+\tfrac{6^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{6^{n}}{n!}\right)-\left(1+\tfrac{6^1}{1!}+\cdots+\tfrac{6^{n-1}}{(n-1)!}\right)\\ &=\frac{6^{n}}{n!}. \end{align} $$
Así que la solución general de (2) es $$ x_n=a_n+b_n=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{6^k}{k!}.\tag 3 $$
Finalmente la solución general de (1) es $$ y_n=(n+1)!2^{1-n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{6^k}{k!}\tag 4 $$ para $n\ge 1$ y $y_0=0$ .
Función generadora ordinaria
Si prefiere trabajar con función generadora multiplicar la recurrencia (2) por $z^n$ y sumar sobre $n$ $$ \sum_{n=0}^\infty x_{n+1}z^n-\sum_{n=0}^\infty x_{n}z^n=\sum_{n=0}^\infty \frac{6^n}{n!}z^n $$ y poner $X(z)=\sum_{n=0}^{\infty} x_nz^n$ para $|z|<1$ tenemos $$ \frac{1}{z}(X(z)-x_0)-X(z)=\operatorname{e}^{6z} $$ es decir $$ X(z)=\frac{z}{1-z}\cdot \operatorname{e}^{6z}. $$ Observando que $\frac{z}{1-z}=\sum_{n=1}^{\infty}z^n$ entonces $x_n$ es el convolución discreta de la discreta Función escalonada de Heaviside $h_n$ y la secuencia $\xi_n=\frac{6^n}{n!}$ Es decir $$x_n=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{6^k}{k!}$$
Otras representaciones
Recordando que el función gamma incompleta $\Gamma(\alpha,x)$ viene dada por $$ \Gamma(\alpha,x)=\int_x^\infty t^{\alpha-1}\operatorname{e}^{-t}\operatorname{d}t $$ y que para $\alpha$ un número entero $n$ $$ \Gamma(n,x)=(n-1)!\operatorname{e}^{-x}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{x^k}{k!}=(n-1)!\operatorname{e}^{-x}e_{n-1}(x), $$ donde $e_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\frac{x^k}{k!}$ es la función de suma exponencial, la solución general (4) puede expresarse como
$$ y_n=(n+1)!2^{1-n}e_{n-1}(6) =\operatorname{e}^{6}2^{1-n}(n+1)n\Gamma(n,6)\tag 5 $$
Utilizando el Integral Exponencial Generalizada $E_n$ función definida como $$ E_n(x)= \int_1^\infty\frac{\operatorname{e}^{-xt}}{t^n}\operatorname{d}t= x^{n-1}\Gamma(1-n,x) $$ la solución (5) puede expresarse como
$$ y_n=\operatorname{e}^{6}2^{1-n}(n+1)n6^nE_{1-n}(6).\tag 6 $$
Finalmente, poniendo todo junto, la solución general de (1) puede representarse como
$$ y_n=\operatorname{e}^{6}2^{1-n}(n+1)n\Gamma(n,6)=\operatorname{e}^{6}2^{1-n}(n+1)n6^nE_{1-n}(6).\tag 7 $$
