Deje $\mathfrak h$ ser el Heisenberg de álgebra en la dimensión 1, generado por los vectores $P$, $Q$ y $I$ satisfactorio $[P,Q] = I$, $[P,I] = [Q,I] = 0$. Una representación de $\mathfrak h$ sobre un espacio de Hilbert $X$ es una mentira álgebra homomorphism de $\mathfrak h$ para el conjunto de los operadores lineales en $X$ (con el colector de soporte). Este tipo de representación es llamada integrable si existe la correspondiente representación $\rho$ del grupo de Heisenberg $H$ tal que $P = \frac{d}{dt}|_{t=0} \rho(\exp(tP))$ $Q = \frac{d}{dt}|_{t=0} \rho(\exp(tQ))$ donde $U$ $V$ son los de un parámetro unitario grupos generados por los generadores del grupo de Heisenberg. Estoy buscando un ejemplo de una representación de $\mathfrak h$ que no es integrable. ¿Alguien tiene uno?
Respuesta
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Permítanme definir con mayor precisión lo que una representación de $\mathfrak h$: $X\subseteq H$ es un denso subespacio vectorial de un espacio de Hilbert, $P,Q,I$ son operadores lineales en $X$ la satisfacción de las relaciones de conmutación y son formalmente skew-adjoint, que es $\langle P\varphi,\psi\rangle=-\langle \varphi,P\psi\rangle,\dots$ todos los $\varphi,\psi\in X.$
Tomar $H=L^2(0,1),$ $X=C_0^\infty(0,1),\ P=d/dt,\ Q=it,\ I=i.$ Esta representación no es integrable porque $iP$ es simétrica y no esencialmente auto-adjunto, lo $P$ no es un generador de una $1$-grupo de parámetros. Pero esta representación se puede extender a una integración de la representación, a saber, la representación de Schrödinger en $\mathcal S(\mathbb R)\subseteq L^2(\mathbb R).$
La existencia de representaciones que no son integrables y no extensible es mencionado en el documento Woronowicz "El quantum problema de momentos. I." República Matemática Phys. 1 1970/1971 para el operador de relación $AA^*-A^*A=Id.$ $P=(A-A^*)/\sqrt 2,$ $\ Q=i(A+A^*)/\sqrt 2,$ $I=iId$ usted obtener un improrrogable representación de $\mathfrak h.$
Ejemplos explícitos de improrrogable representaciones están contenidas en: K. Schmüdgen, "En el Heisenberg de conmutación relación. I." J. Func.. Anal. 50 (1983), no. 1, 8-49.
