Demostrar que $ f(x) $ tiene al menos dos raíces reales en $ (0,\pi) $

Question

Deje $ f $ ser una función continua definida en $ [0,\pi] $. Supongamos que

$$ \int_{0}^{\pi}f(x)\sin {x} dx=0, \int_{0}^{\pi}f(x)\cos {x} dx=0 $$

Demostrar que $ f(x) $ tiene al menos dos raíces reales en $ (0,\pi) $

Answer 1

Aquí está una de las raíces: Deje $F(x) = \int_{0}^x f(t) \sin t dt$. A continuación,$F(0)=0$$F(\pi)=\int_{0}^\pi f(t)\sin tdt=0$. Así que por el teorema del valor intermedio, existe $0<c<\pi$ tal que $$ 0=F'(c) = f(c)\pecado.c. $$
Pero desde $\sin c\neq 0$, obtenemos que $f(c)=0$.

Answer 2

Si f tiene sólo una raíz real en $ (0,\pi)$, decir $ a \in (0,\pi) $, y luego definir $ g(x) = f(x) \sin(x-a) = f(x) (\sin(x)\cos(a) - \cos(x)\sin(a))$ , $ g(x) $ es o no positivo o negativo, no idéntica a cero, y ha integral de la $ 0 $. Contradicción.