La independencia de $\frac{1-\cos(x)+k\sin(x)}{\sin(x)+k(1+\cos(x))}$$k$.

Question

Cómo se puede demostrar que el valor de la siguiente expresión $$\frac{1-\cos(x)+k\sin(x)}{\sin(x)+k(1+\cos(x))}$$ no depende de los valores de $k$?

Answer 1

Si $\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$, por ejemplo,$\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$, entonces ambas fracciones son iguales a $\frac{A+C}{B+D}$ o $\frac{6}{9}$ en mi ejemplo.
Desde $\frac{C}{D}=\frac{kC}{kD}$, que también es igual a $\frac{A+kC}{B+kD}$.
Todo lo que tienes que hacer es comprobar que el $A/B=C/D$.

Answer 2

Escrito $x = 2y$, obtenemos

$$\begin{align} \frac{1-\cos x + k\sin x}{\sin x + k(1+\cos x)} &= \frac{(1-\cos (2y)) + k\sin (2y)}{\sin(2y) + k(1+\cos(2y))}\\ &= \frac{2\sin^2 y + 2k\sin y\cos y}{2\sin y\cos y + 2k\cos^2 y}\\ &= \frac{\sin y}{\cos y}\cdot\frac{\sin y+k\cos y}{\sin y + k\cos y}\\ &= \tan y \end{align}$$

el uso de la doble ángulo de fórmulas $\sin (2y) = 2\sin y\cos y$$\cos (2y) = \cos^2 y - \sin^2 y$.

Answer 3

Transposición de un término y split

$$ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $$

en dos términos y colocarlos en el numerador (N) y el denominador (D) para el recuento por la multiplicación de la cruz

$$ \dfrac {1- \cos x }{\sin x } = \dfrac {\sin x }{1 + \cos x }= \dfrac {k \sin x }{k(1 + \cos x )} = \dfrac {1- \cos x + k \sin x }{\sin x + k(1 + \cos x )} $$

donde hemos multiplicado tanto N y D de la central fracción por un factor común a $k$ y se suman por separado la N y la D (que es un procedimiento válido con fracciones) dejando a su valor sin cambios para todos los valores de $k$.

Para aprender más acerca de esta interesante propiedad, estoy tentado a decir, también puede ser visto igual a $ k^{th}$ raíz de:

$$ \dfrac {(1- \cos x)^k + \sin ^{k} x }{ \sin ^k x + { (1 + \cos x) }^k } $$ for all values of $k$, un resultado quemada en mi memoria de Hall & Caballero del Álgebra.

Answer 4

Tenemos $\frac{1-\cos x + k \sin x}{\sin x + k(1+\cos x)}$ y lo que me molesta a primera vista es que el $k$ multiplica $\sin$ en el numerador, pero $\cos$ en el denominador. Así que, pasemos $\cos$ a $\sin$:

$$ \begin{align}\frac{1-\cos x + k \sin x}{\sin x + k(1+\cos x)} &= \frac{1-\cos x + k \sin x}{\sin x + k(1+\cos x)}\cdot \frac{1-\cos x}{1-\cos x}\\ &= \frac{(1-\cos x)(1-\cos x + k \sin x)}{(1-\cos x)\sin x + k(1-\cos^2 x)}\\ &= \frac{(1-\cos x)(1-\cos x + k \sin x)}{(1-\cos x)\sin x + k\sin^2 x}\\ &= \frac{(1-\cos x)(1-\cos x + k \sin x)}{\sin x(1-\cos x + k\sin x)}\\ &= \frac{1-\cos x}{\sin x} \end{align} $$

EDIT: Exactamente la misma técnica se puede utilizar para resolver Narasimham del problema así.