Cualquier función de $f\colon [0,1]\to\Bbb R$, lo $\int_0^1\frac{f(x)}{f(x)+f(1-x)}dx$?

Question

Tengo una función general suponiendo que la siguiente integral no existe $$\int_0^1\frac{f(x)}{f(x)+f(1-x)}dx.$$ ¿Cómo puedo solucionarlo? He intentado separar de $0$ $0.5$e de$0.5$$1$, pero no sé qué hacer a continuación.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Sugerencia. Set $\displaystyle I=\int_0^1\frac{f(x)}{f(x)+f(1-x)}dx$. Por el cambio de variable $x \to1-x$ se obtiene que $$ I=\int_0^1\frac{f(1-x)}{f(x)+f(1-x)}dx. $$ Luego de observar que $$ I+I=\int_0^1\frac{f(x)}{f(x)+f(1-x)}dx+\int_0^1\frac{f(1-x)}{f(x)+f(1-x)}dx=\int_0^1\frac{f(x)+f(1-x)}{f(x)+f(1-x)}dx=1 $$ giving easily $$I=\frac12.$$

Answer 2

$$ u = 1-x,\qquad x = 1-u $$ $$ \int_0^1 \frac{f(x)\,dx}{f(x)+f(1-x)} = \int_1^0 \frac{f(1-u)(-du)}{f(1-u)+f(u)} = \int_0^1\frac{f(1-x)\,dx}{f(1-x)+f(x)}. $$ Lo que la suma de la primera y la última de las integrales es, está claro.

Answer 3

SUGERENCIA:

El uso de $I=\int_a^bf(x)\ dx=\int_a^bf(a+b-x)\ dx$

$I+I=\int_a^bf(x)\ dx+\int_a^bf(a+b-x)\ dx=\int_a^b[f(x)+f(a+b-x)]\ dx$