Una completa ortonormales sistema contenida en una densa sub-espacio.

Question

Deje que H sea un separables complejo espacio de Hilbert. Dejar que Un ser de una densa sub-espacio de H. Es posible encontrar una completa ortonormales sistema para H que se encuentra en Una?

Answer 1

nonseparable contraejemplo (pero la pregunta original especifica "separables")

Me señaló en el grupo de noticias de la lesión.de matemáticas.la investigación por Robert Israel en el año 2000.

Ver Dixmier, "Sur les bases orthonormales dans les espaces prehilbertiens", Acta De La Lesión. De matemáticas. Szeged 15 (1953) 29-30.

Deje $H_1$ ser un infinito-dimensional espacio de Hilbert separable. Hay un linealmente independientes set$\{x_b: b \in B\}$$H_1$, indexado por un conjunto de $B$ de cardinalidad $c$ (por ejemplo, en $L^2([0,1])$ usted podría tomar $x_b$ $0 < b < 1$ como la función de paso de $x_b(t) = 0$ $t < b$, $1$ para $t \ge b$). Deje $H_2$ ser el no-separables de Hilbert espacio con base ortonormales $\{y_b: b \in B\}$ indexados por $B$. Deje $K$ ser el lineal espacio de los vectores $\{x_b + y_b: b \in B\}$ en la suma directa de $H_1 \oplus H_2$. Entonces no hay ortonormales conjunto en $K$ cuyo lapso es denso en $K$. De hecho:

1) Cualquier ortonormales conjunto en $K$ es contable.

Prueba: Supongamos $\{ z_a: a \in A \}$ es un ortonormales conjunto en $K$. Podemos escribir cada $z_a$ como una suma finita: $$z_a = \sum_{i=1}^n c_i (x_{b_i} + y_{b_i}),$$ donde $\sum_i c_i x_{b_i} \ne 0$ desde el $x_b$ son linealmente independientes. Deje $\{ w_j: j \in \mathbb N \}$ ser un ortonormales base de $H_1$. Para cada una de las $j$, podemos ha $\langle w_j, z_a\rangle \ne 0$ en la mayoría de los countably muchos $a$'s, por lo que sólo hay countably muchos $a$'s para que algunos $\langle w_j, z_a\rangle \ne 0$, y por lo tanto en la mayoría de los countably muchos de los $a$'s de $\langle w, z_a\rangle \ne 0$$w \in H_1$. Pero ya $$\left\langle \sum_{i=1}^n c_i x_{b_i}, z_a\right\rangle = \left\|\sum_{i=1}^n c_i x_{b_i}\right\|^2 > 0,$$ esta dice que el $A$ es en la mayoría de los contables.

2) El lapso de cualquier contables ortonormales conjunto es separable, y por lo tanto no es denso en $K$.

Answer 2

Sí.

La prueba es esencialmente la misma como la búsqueda de una base ortonormales para $H$ sí. Como un subespacio de un espacio métrico separable, $A$ tiene una contables subconjunto denso $\{x_n\}$. Aplicar el algoritmo de Gram-Schmidt a $\{x_n\}$ para obtener una ortonormales set $\{e_n\}$. Por construcción, el lineal lapso de $\{e_n\}$ contiene todos los $x_n$, por lo que es denso en $A$ y, por tanto, también en $H$ $\{e_n\}$ un completo ortonormales sistema.

Edit: estaría interesado en ver una respuesta en la que aborda los no-separables caso. Pensé sobre el uso de mi argumento con una inducción transfinita, pero no funciona. Supongamos que tenemos una ortonormales subconjunto de $A$, $\{e_i\}_{i < \alpha}$ para algunos ordinal $\alpha$. Deje $E_\alpha$ ser el cerrado espacio de $\{e_i\}_{i <\alpha}$; si $E_\alpha \ne H$ a continuación se pueden encontrar algunos de vectores $x \in A \cap E_\alpha^c$. La elección natural para la siguiente base de vectores $e_\alpha$$e_\alpha = x - P_{E_\alpha} x$, ya que este será ortogonal a todos los $\{e_i\}_{i < \alpha}$; pero como $A$ no está cerrado, $E_\alpha$ no necesita ser contenida en $A$, por lo que podríamos llegar a $e_\alpha \notin A$ y este se rompe.

Por supuesto, el problema sólo puede suceder cuando $\alpha$ es un ordinal límite, por lo que esto parece sugerir que tal vez hay algo especial acerca de la separables caso, y tal vez la afirmación es falsa en general. Pero yo no podía pensar en un contraejemplo de improviso.

Answer 3

Deje $\{e_n\}_{n=1}^{+\infty}$ una contables ortonormales base para $H$. Desde $A$ es denso en $H$, para cada una de las $n,k\geq 1$, vamos a $a_{n,k}\in A$ tal que $\lVert e_n-a_{n,k}\rVert\leq k^{-1}$. Aplicamos de Gram-Schmidt proceso para obtener una ortonormales de la familia $\{b_{nk}\}\subset A$ ($A$ es un subespacio), que genera $\operatorname{Span}(a_{n,k},k,n\geq 1\}$. A continuación, $\{b_{n,k}\}$ es una base ortonormales.