La prueba de que una secuencia es limitada

Question

Me gustaría mostrar que la siguiente secuencia son los siguientes: $$c_{n+1}=c_{n-1}+\frac{c_n}{2^{\frac{n}{2}-1}},$$ con $c_0=1$, $c_1=2^{3/4}$. No creo que los valores iniciales son importantes en cualquier forma; menciono para su integridad. Yo también estoy interesado, más en general, en la situación en la que $$c_{n+1}=c_{n-1}+\frac{c_n}{f_n}.$$ That is, what kind of restrictions on $f_n$ force $c_n$ a estar acotada?

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Los valores iniciales SON importantes. Piense en esto como una (tiempo discreto) sistema dinámico. El sistema puede ser globalmente asintóticamente estable para algunas opciones de $f_n$, pero no para otros. Ahora, en el primer ejemplo, el comportamiento exponencial de $f_n$ realmente hace que la secuencia delimitada.

Para el caso general, me gustaría usar la inducción. Sería genial ser capaz de demostrar que si $M_1\leq c_i \leq M_2$, $i=n,n-1$, a continuación,$M_1\leq c_{n+1} \leq M_2$. Por inducción, esto daría el acotamiento de toda la secuencia. Lamentablemente no creo que esto es posible, ya que uno de los límites requeriría $f_n<0$ y el otro $f_n>0$.

Pero podemos tratar de esta manera. Asumir de nuevo $M_1\leq c_i \leq M_2$$i=n,n-1$. Si podemos demostrar que

$$M_1-a_n\leq c_{n+1}\leq M_2+b_n$$

con $a_n,b_n\geq 0$

$$\sum_{n=0}^\infty a_n<\infty\qquad \sum_{n=0}^\infty b_n<\infty$$

entonces tenemos acotamiento de la secuencia. Si haces los cálculos, se entera de que lo que necesita es

$$-a_n\leq\frac{1}{f_n}\leq b_n$$

Así que podemos decir que la sucesión está acotada si

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{f_n}$$ es absolutamente convergente. No sé si esta condición es también necesario. Mi conjetura es que esta condición es necesaria si desea global de convergencia (es decir, independientemente de la condición inicial), si bien puede no ser necesario para algunos a $f_n$ y a la elección de las condiciones iniciales.

Answer 2

Para $n\geq 6$ tenemos $2^{n/2-1} \geq 4$ $c_{n+1}\leq c_{n-1} + c_n/4.$ nosotros sólo Nos preocupamos de probar acotamiento para el primer par de términos no importa, asumir esta desigualdad se cumple desde el inicio. Entonces, ciertamente, $c_n\leq a_n$ donde $a_n$ es la secuencia con las mismas condiciones iniciales, pero donde definimos $a_{n+1}=a_{n-1}+a_n/4$, yo.e donde la desigualdad es preciso. Esta es la forma de primer orden lineal homogénea de recurrencia, que tiene muchas elementales de los métodos de solución. Vemos a $$a_n = \alpha \left( \frac{1-\sqrt{65}}{8} \right)^n + \beta \left( \frac{1+\sqrt{65}}{8} \right)^n$$

donde $\alpha$ $\beta$ son algunos (irrelevante) constantes determinadas por las condiciones iniciales. $|1-\sqrt{65}|<8$ , por lo que el primer término, finalmente, se convierte en$0$$(1+\sqrt{65})/8 < 5/4$, por lo que eventualmente $c_n\leq a_n < (5/4)^n.$

Esto significa que $c_{n+1} < c_{n-1} + 2 \gamma^n$ donde $\gamma = \frac{5}{4\sqrt{2}} <1.$

Aplicar repetidamente esto da $$c_{n+1} < c_{n-1} + 2 \gamma^n$$ $$< c_{n-3} + 2\gamma^{n-2} + 2\gamma^n$$

$$< c_{n-5}+2(\gamma^{n-4}+\gamma^{n-2}+\gamma^n)$$

$$\vdots$$

$$< c_0 +2M$$

donde $M$ es finito porque el $\gamma$ suma de una progresión geométrica con un ratio de menos de $1.$

Por lo $c_n$ está acotada.

Answer 3

Vamos a reescribir la secuencia original de la siguiente manera:

$$(c_{n+1}-c_{n}) + (c_{n}-c_{n-1}) =\frac{c_n}{f_n}$$

Vamos a denotar un asintótica término de esta secuencia por $y\sim c_n \,(\text{as}\,n \to \infty )$. Entonces podemos escribir la siguiente aproximada de la ecuación diferencial:

$$2\frac{dy}{dn}=\frac{y}{f_n}$$ Una solución general de este diff.eq. es

$$c_n\sim y=const\,e^{\int\frac{dn}{2f_n}}$$ In the particular case $f_n=2^{\frac{n}{2}-1}$, tenemos:

$$c_n\sim y= const\,e^{-\frac{1}{2^{\frac{n}{2}-1}\ln 2}}$$ So, in given case, $c_n$ es acotado, de hecho.