La generación de números espejo

Question

(Esta fue una pregunta de mi querida 10 años de edad, hermano). Vamos a definir algún tipo de algoritmo, donde podremos tomar un número, la inversa de sus dedos, y agregar a la original, y repetir hasta la obtención de un palíndromo/espejo de número. Por ejemplo: empezar con $213$; $213+312=525$, que es un palíndromo. Podemos definir esto como una "función" $f(213)=535=f(312)$, $f(12)=f(21)=33$, etc.

Mi hermano pidió a las siguientes dos preguntas:

• Si comenzamos con $196$, y sigue este algoritmo, podemos obtener un número capicúa? Si sí, ¿cuál es ese número? I. e., qué $f(196)$ (que es igual a $f(691)$) existen?

• Qué tal si comenzamos con $9988$? Es posible obtener un número capicúa? I. e., qué $f(9988)$ existen? Si sí, ¿cuál es $f(9988)$?

No podía responder a él, y por lo que he recurrido a las grandes mentes de MSE.

P. S.: yo tenía curiosidad por ver si, si empezamos con un número general $n=\sum^n_{i=1}a_i10^i$, ¿cuál será la resultante número capicúa ser, si es que existe? Pero esto es sólo un "bono"! :-)

Answer 1

Como los comentarios ya han informado, este es un problema abierto varios aficionados y profesionales matemáticos han estado trabajando durante décadas. De acuerdo a un p196.org la página, cálculos avanzados últimos 400 millones de dígitos decimales a partir de 2011.

Para dar un poco de perspectiva, considere la posibilidad de que los científicos dicen que hay $10^{80}$ átomos en el universo entero. Si un número perfecto impar existe, por lo menos es $10^{300}$. Podría darse el caso de que el menor número perfecto impar es menor que la primera palíndromo alcanzado a partir de 196 por la inversa y añadir la función. Usted tiene una mejor oportunidad de ganar un millón de dólares como premio mayor de la lotería que de encontrar un palíndromo en 196 trayectoria.

Como para 4994, la mayoría de las personas consideran que es trivial porque ya es un palíndromo. La pregunta que deben plantearse es si 9988 alcanza un palíndromo por este algoritmo. De acuerdo a un alemán de la página de la Wikipedia, si he entendido el idioma correctamente y si la información es correcta (dos grandes ifs), 9988 trayectoria podría nunca llegar a un palíndromo. Pero dudo que los cálculos han ido tan lejos como para 196.