Hola amigos estoy tratando de demostrar lo que creo que debería ser un simple resultado bastante, pero tengo que hacer algo antinatural definición de hacerlo. Este antinatural definición se insinúa en un papel por Franz & Gohm:
Si $G$ es un grupo, entonces la $b:M\times G\rightarrow M$ se le llama (a la izquierda) la acción de $G$$M$, si se cumple...
...como antes, tenemos la unital *-homomorphisms $\alpha_g:F(G)\rightarrow F(G)$ definido por $\alpha_g(f)(x):=f(b(x,g))$. En realidad, con el fin de obtener una representación de $G$$F(G)$, es decir,$\alpha_g\alpha_h=\alpha_{gh}$, se debe modificar la definición y el uso de $\alpha_g(f)(x):=f(b(x,g^{-1}))$. De lo contrario, tenemos un anti-representación.
Deje $G$ ser un grupo finito y deje $\rho:G\rightarrow GL(V)$ ser una representación de $G$. Yo había querido demostrar que si se define un mapa
$$\chi(v)=\sum_{g\in G}u\otimes\mathbf{1}_{\{g\,:\,\rho(g)u=v\}}=\sum_{g\in G}\rho(g^{-1})v\otimes\mathbf{1}_{\{g\}},$$
que $\chi$ sería un corepresentation de la cuántica grupo$F(G)$$V$. Algo que en definitiva van a solucionar mi problema, en línea con Franz & Gohm los comentarios de arriba, es que si me definen
$$\chi_0(v)=\sum_{g\in G}u\otimes\mathbf{1}_{\{g\,:\,\rho(g^{-1})u=v\}}=\sum_{g\in G}\rho(g)v\otimes\mathbf{1}_{\{g\}}.$$
La razón por la que estoy insegura sobre esto es debido a que destruye una gran cantidad de la comprensión, pensé que me había... brevemente, si tenemos en cuenta la representación para una acción de $G$ $V$ tal que $u\overset{g}{\longrightarrow}v$ quise $\chi$ a codificar todo esto diciendo que mirar todas las cosas que traen $v$: algo que se ve o se siente como $\coprod_i(u_i\overset{g_i}{\longrightarrow} v)$.
Para ser un corepresentation necesitamos $(I_V\otimes \varepsilon)\circ\chi=I_V$ donde $\varepsilon$ es el counit. No hay ningún problema en mostrar esto con la definición.
La otra propiedad que necesitamos es
$$(I_V\otimes \Delta)\circ \chi=(\chi\otimes I_A)\circ\chi,$$
lo que funciona bien para $\chi_0$, pero para lo que yo quiero lo mejor que puedo hacer es
$$\sum_{g,t\in G}\rho(gt)^{-1}\otimes \mathbf{1}_{\{gtg^{-1}\}}\otimes\mathbf{1}_{\{g\}}=\sum_{g,t\in G}\rho(gt)^{-1}\otimes \mathbf{1}_{\{t\}}\otimes\mathbf{1}_{\{g\}},$$
que sólo funciona si $G$ es abelian.
El mapa de $\Delta$ es el subproducto dado por $\Delta: F(G)\rightarrow F(G)\otimes F(G)$ $$\Delta(\mathbf{1}_{\{g\}})=\sum_{t\in G}\mathbf{1}_{\{gt^{-1}\}}\otimes \mathbf{1}_{\{t\}}.$$
Supongo que estoy un poco inseguro acerca de dejar ir de la muy poco de intuición que tengo en el reino de los grupos cuánticos y me pregunto ¿hay una mejor razón para el uso de $\chi_0$ $\chi$ aparte de que "funciona".
Gracias por su tiempo.
